Question

Politehnica

Ma puteti ajuta cu o sugestie la problema numarul 265 ? Am incercat sa o desfac in A,B,C insa rezultatul nu este cel cautat...

Answer 1

Nu ai ce sa faci decat sa incerci combinatii diverse cu membrii de la numitor
Observ din prima ca 6=2*3*1=(k+3-k-1)*(k+3-k)*(k+1-k) Asa ca imi vine din prima ideea
$\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}=\frac{k+3-k-1}{(k+1)(k+3)}=\frac{2}{(k+1)(k+3)}$
$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3}=\frac{k+3-k}{k(k+3)}=\frac{3}{k(k+3)}$
Observi ca poti obtine combinatia inmultind pe prima cu 3, pe a doua cu 2 si apoi scazand din a doua pe prima
$2(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3})-3(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3})=\frac{3*2}{k(k+3)}-\frac{3*2}{(k+1)(k+3)}\Rightarrow \frac{2}{k}-\frac{2}{k+3}-3\frac{1}{k}+3\frac{1}{k+3}=\frac{2}{k}-\frac{3}{k+1}+\frac{1}{k+3}=\frac{6}{k+3}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{6}{k+3}*\frac{k+1-k}{k+1}=\frac{6}{k(k+1)(k+3)}$

Hai sa urmarim cum variaza aceasta insiruire pentru termenii de la k-1 la k+2
$\frac{2}{k-1}-\frac{3}{k}+\frac{1}{k+2}$
$\frac{2}{k}-\frac{3}{k+1}+\frac{1}{k+3}$
$\frac{2}{k+1}-\frac{3}{k+2}+\frac{1}{k+4}$
$\frac{2}{k+2}-\frac{3}{k+3}+\frac{1}{k+5}$
Observi ca termenii k+2 de pe linia 1,3 si 4 se anuleaza, si asta se intampla secvential. k+2 se va diuce de pe linia 2,3 si cu cel al liniei precedente
Asta ca se vor anula toti cei intermediari, cei care sunt supra n o sa fie la limita n->inf vor da 0, deci hai sa ne uitam pentru termenii incepand de la k=1

$\frac{2}{1}-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}$
$\frac{2}{2}-\frac{3}{3}+\frac{1}{5}$
$\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{1}{6}$
Cei care sunt supra 3 se vor duce, la fel si cel supra 4 din coltul dreapta sus ci cel de pe linia 3, la fel si cel supra 6 din dreapta jos cu cei de dupa
Deci rezulta ca primii 2 termeni de la dreapta de pe primele 2 linii si cel mai din stanga termen de pe ultima linie raman
$\frac{2}{1}-\frac{3}{2}+\frac{2}{2}-\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}$