Question

Precizati cate nr nenule A de cel mult 6 cifre care verifica in acelasi timp conditiile
a)A este par
b)A este cub perfect
c)jumatatea lui A este patrat perfect

Answer 1

   
Conditia de la punctul a) nu e necesara fiind inclusa in punctul c) in care spune ca A se imparte la 2 si se obtine "jumatatea lui care este pp" 
Rezulta ca A nu poate fi impar, deci A este numar par. 

Rezolvare:

[tex]\displaystyle\\ \text{Un cub perfect este de forma }~ a^3\\ \text{Un patrat perfect este de forma }~ b^2\\ a;~b \in N\\\\ \text{Conditia impusa este: }~~ \frac{a^3}{2}=b^2 ~~\Longrightarrow~~a^3 ~\text{ este numar par.}\\\\ \text{Daca }~a^3 ~\text{ este numar par, rezulta ca }~a~\text{ este numar par.}\\\\ \Longrightarrow~~a = 2n\\\\ b^2 = \frac{a^3}{2} = \frac{(2n)^3}{2}=\frac{2^3n^3}{2}=\frac{8n^3}{2}\\\\ \text{Concluzia 1: } ~\boxed{a^3 ~\text{ este de forma }~ 8n^3 } [/tex]


[tex]\displaystyle\\ b^2=\frac{8n^3}{2} ~~\Longrightarrow~~b=\sqrt{\frac{8n^3}{2}}=\sqrt{4n^3}=2 \sqrt{n^3}\\\\ \text{Concluzia 2: }~\boxed{n^3 ~\text{este si cub perfect si patrat perfect.}}\\\\ \text{Rezulta ca orice numar care este si patrat perfect si cub perfect, }\\ \text{inmultit cu 8 este cub perfect si impartit la 2 este patrat perfect.}\\\\ \texttt{Cautam numere care sunt si patrat perfect si cub perfect.}\\ pp=k^2\\ cp=k^3 \\ \Longrightarrow~\boxed{pp~si~cp=k^{2\times 3} = k^6} [/tex]


[tex]\displaystyle\\ \texttt{Cautam numere de forma }~k^6\\\\ 1^6 = 1~~\Longrightarrow~~ A=1\times 8 = \boxed{8} \\ 2^6=64~~\Longrightarrow~~ A=64\times 8 = \boxed{512}\\ 3^6=729~~\Longrightarrow~~ A=729\times 8 = \boxed{5832}\\ 4^6=4096~~\Longrightarrow~~ A=4096\times 8 = \boxed{32768}\\ 5^6=15625~~\Longrightarrow~~ A=15625\times 8 = \boxed{125000}\\ 6^6=46656~~\Longrightarrow~~ A=46656\times 8 = \boxed{373248}\\ 7^6=117649~~\Longrightarrow~~ A=117649\times 8 = \boxed{941192}\\ [/tex]


Avem in total 7 numere:
A ∈  {8; 512; 5832; 32768; 125000; 373248; 941192}

Operatia poate continua  8⁶;  9⁶; 10⁶ ...  dar A ar avea mai mult de 6 cifre. 

Answer 2

Avem 3 conditii:

[tex]A=2p\\ \\ A=c^3\\ \\ A=2r^2\\ \\[/tex]

Observam ca prima conditie reiese din a treia, (daca a 3 va fi adevarata, atunci si prima va fi). Deci ramine sa efectuam operatii cu ultimele 2.
Din egalitati obtinem:

$A=c^3=2r^2$

Cum observam c, se imparte mereu la 2, deci il putem scrie ca:

[tex]c=2c_1,~de~unde:\\ \\ 8c_1^3=2r^2\\ \\ 4c_1^3=r^2\\ \\[/tex]

Observam ca si r trebuie sa se imparta la 2, (pentru ca r^2 sa se imparta la 4).

[tex]r=2r_1\\ \\ 4c_1^3=4r_1^2\\ \\ c_1^3=r_1^2[/tex]

Astfel observam ca trebuie sa gasim asa cuburi $c_1^3$, ca ele sa mai fie si patrate.


[tex]Deoarece:\\ \\ N=c^3,atunci:\\ \\ N=8c_1^3[/tex]

Deoarece N poate avea cel mult 6 cifre, obtinem ca:

[tex]N\ \textless \ 1000000\\ \\ 8c_1^3\ \textless \ 1000000\\ \\ c_1^3\ \textless \ 125000=50^3=(5\sqrt2)^6\\ \\[/tex]

Cubul c, se poate imparti in factori primi:

$c_1^3=\pi_1^{3m_1}\pi_2^{3m_2}...\pi_z^{3m_z}$

Dar pentru ca acest numar si sa fie patrat perfect, trebuie ca toate puterile a factorilor primi(3m) sa fie pari. Deci merg doar 0,6,12... . Cu alte cuvinte c1^3 trebuie sa fie a 6 puterea a unui numar x, astfel incit acest numar sa fie mai mic decit 5√2≈7.07. Atiti x-si exista doar 7, si asta este si raspunsul la problema.

[tex]x\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\\ \\ N=8c_1^3=8x^6=8,512,5832,32768,125000,373248,941192.[/tex]