Question

Precizați valoare de adevăr a propozițiilor următoare:a) Produsul a două numere raționale este număr rațional;b) Raportul a două numere raționale este număr irațional;c) Produsul dintre un numere rațional și un număr irațional este număr irațional;d) Produsul a două numere iraționale este număr irațional.

Answer 1

a) Produsul a două numere raționale este număr rațional.

Adevărat.

demonstrație:

a/b · c/d = ac/bd

a, c, b, d ∈ Z  ⇒  ac, bd ∈ Z ⇒ ac/bd ∈ Q

b) Raportul a două numere raționale este număr irațional.

Fals.

Contraexemplu: 3 / 2 = 1,5 număr rațional

c) Produsul dintre un numere rațional și un număr irațional este număr irațional.

Adevărat.

demonstrație:

presupunem că produsul ar fi un număr rațional

a/b · x = m/n

⇒  x = m/n · b/a = mb/na

cum a, b, m, n ∈ Z ⇒ mb, na ∈ Z ⇒ x număr rațional

ceea ce contravine ipotezei x nr. irațional

⇒ presupunerea este greșită și produsul este număr irațional

d) Produsul a două numere iraționale este număr irațional.

Fals.

Contraexemplu: √3 · √3 = 3 număr rațional