Question

Prelungirile înălțimilor din A și, respectiv , B ale triunghiului ABC intersectează cercul circumscris triunghiului in M și , respectiv , N. Demonstrați ca : i) semidreapta [BC este bisectoarea unghiului MBN
ii)m(mb) +m(AN)=(AB)

Answer 1

Patrulaterul ABMC este inscriptibil, avand toate vf pe cerc. Rezulta ca m(MBC) =m(MAC)
Dar in triunghiurile dreptunghice ADC si BEC (D si E picioarele inaltimilor din A si B) m(C) +m(CAD) =m(C) +m(CBE) =90°
deci ubghiurile NBC siMBC sunt egale, deci BC bisectoare

am vazut ca m(EBC) +m(C) =90
Dar in ABD m(BAD) +mABE+m(C) =90°
Atunci
m(BAD) +m(ABE) =m(C), care scrisa in functie de coardele pe care le subintind
m(BM) +m(AN) =m(AB) (dupa simplificare)