Question

Primitive bac. Nu inteleg cum vine la punctul a) cum ajunge F'(x), f(x) ?​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

(arctg ( u) )' = $\frac{u'}{1+u^{2} }$

In cazul nostru , u=$e^{x}$

Deci, arctg(e^{x}) ' = e^{x} / 1+ e^{2x} simplificam prin e^{x} = 1/ e^{-x}+e^{x}

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Pentru ca functia F sa fie o primitiva a functiei f, trebuie sa indeplineasca simultan doua relatii:

1) F sa fie continua pe tot domeniul de definitie

2) F'(x)=f(x).

F:IR->IR, F(x)= arctg(eˣ) este continua pe tot domeniul de definitie (adica pe IR) fiind compunere de functii elementare (intrucat functia exponentiala si functia arctangenta sunt considerate a fi elementare). (1)

Calculam F'(x).

Folosim formula: [arctg(u)]'=u'/(u²+1).

F'(x)=[arctg(eˣ)]'=(eˣ)'/[(eˣ)²+1]=eˣ/(e²ˣ+1)=eˣ/[eˣ(eˣ+1/eˣ)]=Simplificam eˣ cu eˣ=1/(eˣ+1/eˣ)=Dar, 1/eˣ este de fapt e⁻ˣ=1/(eˣ+e⁻ˣ)=f(x) (2)

Din (1) si (2), F este o primitiva a functiei f.