Question

Prin impartirea numerelor ab , bc , ca la acelasi numar natural , se obtin caturile b , c , respectiv a si resturile c , a , respectiv b. Aflati impartitorul si aratati ca a=b=c.

Answer 1

ab=10a+b
bc=10b+c
ca=10c+a
(10a+b):x=b si rest c    (10a+b)=xb+c   
(10b+c):x=c si rest a    (10b+c)=xc+a   
(10c+a):x=a si rest b    (10c+a)=xa+b   
le adunam
(10a+b)+(10b+c)+(10c+a)=(xb+c)+(xc+a)+(a+b)
11a+11b+11c=x(a+b+c)+(a+b+c)
11(a+b+c)=x(a+b+c)+(a+b+c)
11(a+b+c)=(x+1)(a+b+c)
x+1=11
x=10

10a+b=10b+c  a=(9b+c)/10
10b+c=10c+a  b=(9c+a)/10
10c+a=10a+b  c=(9a+b)/10
pentru ca a, b c sa fie numere naturale trebuie ca  (9b+c) , (9c+a) si
(9a+b) trebuie sa fie multipli de 10

daca b=1  c=1  a=1
9+1=10
daca b=2  c=2  a=2
9*2+2=20
daca b=3  c=3  b=3
9*3+3=30
rezulta ca a=b=c