Prin împărțirea unui număr natural n la 24 se obține restul 14, prin împărțirea la 32 se obține restul 22 și prin împărțirea la 54 se obține restul 44.
a) Este posibil ca numărul n sa fie egal cu 1718?Justifica răspunsul dat.
b) Determina cel mai mic număr natural n cu proprietatea din enunț.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
a) da, numărul 1718 îndeplinește condițiile impuse
b) 1046
Explicație pas cu pas:
a) observăm că la fiecare dintre cele 3 împărțiri, restul este mai mic cu 10 decât împărțitorul. Asta înseamnă că dacă adăugăm 10 la numărul n, vom avea un număr care se împarte exact la 24, 32 și 44.
Dacă n=1718, atunci n+10 = 1728.
1728 = 24*71 = 32*54 = 54*32 - deci îndeplinește condițiile de a se împărți exact la 24, 32 și 54.
Deci 1718 este numărul care, împărțit la 24, 32 și 54 dă rest 14, 22 și respectiv 44.
b) n+10 se împarte exact la cele trei numere. Vom calcula cel mai mic multiplu comun al celor 3 numere, după care, scăzând 10 vom obține pe n.
24 = 2³ · 3
32 = 2⁵
44 = 2² · 11
cmmmc (24, 32, 44) = 2⁵ · 3 · 11 = 1056 (se iau factorii comuni și necomuni, la puterea cea mai mare)
n+10 = 1056
n = 1046