Question

Prin punctul R situat in interiorul triunghiului ABC, se duc trei drepte paralele la laturile triunghiului. Ariile celor trei triunghiuri sunt, respectiv, egale cu:
$a^{2} \: \: b^{2} \: \: c ^{2}$
Sa se determine aria triunghiului ABC.

Answer 1

..........................

Answer 2

Voi renota punctul R cu X. Voi folosi R pentru raza cercului circumscris.

Triunghiurile XIG, HXE, FDX sunt asemenea cu triunghiul ABC. (triunghiuri cu toate laturile paralele cu laturile triunghiului ABC)

Atunci vom avea:

$\displaystyle \frac{XI}{AB}= \frac{XG}{AC}=k_1 \\ \\ \frac{XE}{BC}= \frac{XH}{AB}=k_2 \\ \\ \frac{XD}{BC}= \frac{XF}{AC}=k_3 \\ \\ Deci \\ \\ XI=ck_1~;~XG=bk_1~; \\ \\ XE=ak_2~;~XH=ck_2~; \\ \\ XD=ak_3~;~ XF=bk_3.$

$\displaystyle S_{XIG}=a^2 \Leftrightarrow \frac{XI \cdot XG \sin A}{2}=a^2 \Leftrightarrow XI \cdot XG= \frac{2a^2}{\sin A}=4aR. \\ \\ Analog~XE \cdot XH=4bR~si~XD \cdot XF=4cR. \\ \\ Inlocuind,~va~rezulta:\\ \\ bck_1^2=4aR \\ \\ ack_2=4bR \\ \\ abk_3^2=4cR \\ \\ Deci~k_1=2 \sqrt{\frac{aR}{bc}}~;~k_2=2 \sqrt{\frac{bR}{ac}};~k_3= 2 \sqrt{\frac{cR}{ab}}.$

$\displaystyle S_{AFXH}=XF \cdot XH \sin A= \frac{bc \sin A}{2}k_2k_3=Sk_2k_3. \\ \\ Analog:~S_{BDXI}=Sk_1k_3~si~S_{CEXG}=Sk_1k_2. \\ \\ Aria~triunghiului~ABC~va~fi~suma~ariilor~acestor~paralelograme \\ \\ la~care~mai~adaugam~suma~ariilor~triunghiurilor~date,~deci: \\ \\ S(k_2k_3+k_1k_3+k_1k_2)+a^2+b^2+c^2= \\ \\ =4RS \left( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right)+a^2+b^2+c^2= \\ \\ =abc \left( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right)+a^2+b^2+c^2= \\ \\ =a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac.$