Question

Problema 11
Punctele a,b

Answer 1

Răspuns:

a) Fie D piciorul bisectoarei din A (vezi figura). Din teorema bisectoarei în triunghiul ABC avem

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c}{b}$       (1)

Atunci, folosind vectorul de poziție al punctului care împarte un segment într-un raport dat, avem

$\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{1+\dfrac{c}{b}}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\dfrac{c}{b}}{1+\dfrac{c}{b}}\overrightarrow{AC}=\dfrac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$        (2)

Din teorema bisectoarei în triunghiul ABD (cu bisectoarea BI) avem

$\dfrac{AD}{ID}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{c}{BD}$      (3)

Din relația (1), folosind proporții derivate rezultă $BD=\dfrac{ac}{b+c}$. Înlocuind în (3) avem

$\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{b+c}{a}\Rightarrow\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{b+c}{a+b+c}$

Atunci

$\overrightarrow{AI}=\dfrac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{AD}=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\iverrightarrow{AC}$

b) Avem

$\overrightarrow{PI}=\dfrac{1}{1+\dfrac{b+c}{a}}\overrightarrow{PA}+\dfrac{\dfrac{b+c}{a}}{1+\dfrac{b+c}{a}}\overrightarrow{PD}$    (4)

În mod analog ca la relația (2) avem

$\overrightarrow{PD}=\dfrac{b}{b+c}\overrightarrow{PA}+\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{PB}$

Înlocuind în relația (4) se obține

$\overrightarrow{PI}=\dfrac{1}{a+b+c}\left(a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}\right)$

Explicație pas cu pas: