Question

Problema 11 va rog frumos am nevoie de ea urgent , răspunsul trebuie sa de B

Answer 1

din ipoteza:
O'C⊥AO (raza perpendiculara in punctul de tangenta)
O'D⊥BO
OC=OD (tangente dintr-un punct exterior, congruente)
O'C=O'E=O'D=r
rezulta ca triunghiurile dreptunghice OCO' si ODO' sunt congruente (CC), deci
∡COO'=∡DOO'=∡AOB/2=30°
cu T∡30° in tr. OCO', CO'=OO'/2 ⇔ OO'=2r
R=OE=OO'+O'E=2r+r=3r
r/R=1/3

Answer 2

   
Desenul este in fisierul atasat.

Definitii:
Daca dintr-un punct exterior unui cerc se duc 2 tangente la cerc atunci dreapta care uneste punctul exterior cu cercul cercului este bisectoarea unghiului format de cele 2 tangente la cerc.
Raza care uneste cercul cercului cu punctul de tangenta este perpendiculara pe tangenta.

Rzolvare  (vezi desenul atasat):

[tex]\displaystyle\\ O_1A =O_1B =O_1C =R \\ O_2C = O_2T =r\\ m(\sphericalangle AO_1B)=60^o\\ m(\sphericalangle AO_1C)= \frac{AO_1B}{2} = \frac{60^o}{2}=30^o\\ \text{In }\Delta TO_1O_2 \text{ avem:}\\ m(\sphericalangle TO_1O_2)=30^o\\ m(\sphericalangle O_1TO_2)=90^o\\ O_2T = r\\ O_1O_2 = O_1C - O_2C = R-r\\ O_2T = O_1O_2 \times \sin(\sphericalangle TO_1O_2)\\\\ r=(R-r)\sin 30^o \\\\ r=\frac{R-r}{2} \\\\ \frac{R-r}{r}=2\\\\ \frac{R}{r}-\frac{r}{r}=2\\\\ \frac{R}{r}-1=2\\\\ \frac{R}{r}=2+1\\\\ [/tex]

[tex]\displaystyle\\ \frac{R}{r}=3~~~~~\Big| \text{Ridicam la puterea } (-1)\\\\ \boxed{\frac{r}{R}= \frac{1}{3} }[/tex]