Question

problema 2 si problema 3 doar partea cu functia inversa

Answer 1

f= 3(a+bi) +2(a-bi)=5a+bi
 z=5a+bi
∀z≠0+0i, exista z^(-1) asa fel incat z* z^(-1)=1 +0i, elemetul neutru in CORPUL C
adica daca a≠0 si b≠0
in mod normal nu mai trebuie demonstrat, s-a demonstrat la inversul unui numar complex
C ester corp fata de + si  *, toate elementele mai putin 0, elementul neutru pt adunare au soimetric fata de *  intr-un Corp

daca totusi autorul problemei cere  explicit, exista
1/(5a+bi )=(5a-bi)/(25a²+b²)

deci exista functia inversa ∀a≠0 si b≠0


2.Se observa ca functia f(x) este definita prin 3 expresii de functii de grad 1, pe 3 interevale
 functia de grad1 este bijectiva, deci inversabila
 si
 (ax+b) ^ (-1)=(1/a) *x-b/a

deci singura conditie pt ca functia directa  sa fie inversabila este ca aceasta sa fie continua in fiecare element al domeniului de definitie, R\{1}; in 1  functia nu este definita , deci nu are sens sa ii stdiem continuitatea

lim x->0, x>0 =b
f(0)=0⇒b=0
deci b=0, a∈R*  (daca a=0, functia nu mai esteinjectiva)
asa cum sunt scrise conditiiole, nu este necesara ca lim stanga f(x) cand x->1 sa fie=lim dreapta f(x) cand x->1 pt ca f nu e definita in 1, deci functia inversa va exista chiar daca limitele stanga drteapta sunt diferite si valorile lui f^(-1) stanga si dreapta vor fi diferite, dar functia va exista, ca inversa de 2 functii liniare definite pe intervalele DISJUNCTE (0;1) si (1;∞) vezi dDesen 1

pt a avea sens determinarea lui b, ar trebui sa ax+b sa fie definit pe (0;1] nu pe (0;1) probabil e o greseala de tipar
 (sau , echivalent ,la ultima expresie, in loc de x>1, sa fie x≥1)
 TEXT CORECTAT 
vom rezolva deci cu ax+b : (0;1]
in acest caz, functia fiind definita in 1, este necesar ca  limita la dreapta functiei directe = limita la stanga=valoarea functiei
limita la dreapta = 3*1-1=2

ax=2 a*1=2;;   a=2

deci am ajuns la urmatoarele expresii ale lui f9x0

f(x) =x pt x∈(-∞;0]
         2x pt x∈(0;1]
         3x-1 ptx∈(1;∞)


in mod corespunzator , vam avea functia inversa
f^(-1)( x)= x, ptx∈(-∞;0]
                  x/2 pt  x∈(0;1]
                   x/3+1/3 pt x∈(1,∞) vezi desen 2, pt grafice


vom rezolva ecuatia ceruta pe cerle 3 intervale  si vom verifica daca solutiile obtinute apartin acestor intervale

f(x+1) + f^(-1) (x)=
a)x+1+x  =2x+1 pt x∈(-∞;0]

2x+1=2
2x=1 x=1/2∉(-∞;0],  soltia nu convine
b)
f(x+1) + f^(-1) (x)=2(x+1)+x/2=2x+2 +x/2=2
5x/2=0
x=0∉(0;1]

c)
f(x+1) + f^(-1) (x)=3(x+1)-1 +x/3+1/3=10x/3 +7/3  pt x∈(1;∞)
10x/3+7/3=2
10x/3=-1/3
 x= (-1/3) :(10/3) =-1/10 <0 ∉(1;∞) nu convine
 
 ecuatia, asa cum e definita functia,  nu are solutie

p ca ecuatia s aibe soltia 0, functia f trebuie definita astfel
f(x) =x , pt x<0
         ax+b, pt x∈[0,1)
         3x-1 pt x≥1


sau, echivalent
f(x) =x , pt x<0
         ax+b, pt x∈[0,1]
         3x-1 pt x>1
care ne duce la rezolvare al aceleasi expresii
dar intervalele definite altfel
(x) =x pt x∈(-∞;0)
         2x pt x∈[0;1)   
         3x-1 ptx∈[1;∞)'


sau variuanta
(x) =x pt x∈(-∞;0]
         2x pt x∈[0;1]
         3x-1 ptx∈(1;∞)
dar important este ca

 0 sa apartina intervalului unde functia directa are expresia 2x si cea inversa x/2  atunci f(x+1)=f(0+1)=f(1)=2*1=2  si f^ (-1) (x)=0 si 2+0=2