Problema 2. Suma a 15 numere naturale consecutive este un număr cu cifre diferite, printre
care se află cifrele 0, 1, 2 si 4. Care este cel mai mic număr posibil dintre cele 15 numere?
plssssss.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
676
Explicație pas cu pas:
Notăm cel mai mic număr cu x și calculăm suma celor 15 numere consecutive:
S = x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 14) = 15x + 1 + 2 + ... + 14 =
= 15x + 14 · 15 / 2 = 15x + 15 · 7 =
= 15(x + 7)
Despre S știm că are toate cifrele diferite și că printre ele se află cifrele 0, 1, 2, 4. (condiția 1)
Mai știm că x este număr natural, deci S = 15(x + 7) trebuie să fie divizibil cu 15, adică să fie divizibil cu 3 și cu 5.
S divizibil cu 5 ⇒ ultima cifră poate fi 0 sau 5 (condiția 2)
S divizibil cu 3 ⇒ suma cifrelor este divizibilă cu 3 (condiția 3)
Deocamdată știm că suma cifrelor este cel puțin 1 + 2 + 4 = 7
⇒ trebuie să mai adăugăm o cifră pentru a obține un multiplu de 3:
9 - 7 = 2, nu convine pentru că nu respectă condiția 1
12 - 7 = 5, ne convine
15 - 7 = 8, ne convine
18 - 7 = 11, nu mai este cifră
În același timp, problema ne cere să determinăm cel mai mic număr cu această proprietate. Cel mai mic număr care să respecte condițiile 1, 2, și 3 este 10245.
S = 10245
15 (x + 7) = 10245
x + 7 = 10245 : 15 = 683
x = 683 - 7 = 676