Question

Problema 3 doar.
Cu rezolvări complete și explicații că nu am înțeles problema asta deloc.. :((

Answer 1

Poti sa rescrii functia respectiva drept
$f(n)=f^{2}(n)-2f(n)+1+1=(f(n)-1)^{2}+1$ Pornind de la aceasta definitie, sa facem subpunctele
a) o functie este marginita daca pentru orice n natural exista doua numere a si b pentru care
$a<f(n)<b$ in cazul nostru sa ne uitam ce se intampla daca f(0) este in intervalul [1,2]. Avem atunci
$1<f(0)<2\Rightarrow 1-1=0<f(0)-1<2-1=1\Rightarrow 0^{2}=0<(f(0)-1)^{2}<1^{2}=1\Rightarrow 0+1=1<(f(0)-1)^{2}+1<1+1=2\Rightarrow 1<f(0+1)<2$ deci am ajuns la concluzia ca f(1) este si el in intervalul [1,2]
Probabil ca stii procedeul de inductie matematica. Ce am facut mai sus este practic cazul de baza, cel mai simplu.
Apoi ar trebui sa faci pasul de inductie. Presupui ca exista k numar natural pentru care f(k) apartine lui [1,2] si trebuie sa arati ca si f(k+1) apartine lui [1,2]. Pasii sunt aceiasi precum cei de mai sus, doar ca inlocuiesti pe f(0) cu f(k). Atunci ajungi la concluzia ca indiferent pentru k apartine lui N, este marginita definita de limitele a=1 si b=2
b) Incepi sa inlocuiesti valorile si vedem ce se intampla
$f(1)=(f(0)-1)^{2}+1=(1.5-1)^{2}+1=(0.5)^{2}+1=0.25+1=1.25$ deci observam din prima ca
$1.5=f(0)>f(1)=1.25$ acest lucru se intampla in general pentru ca un numar subunitar x<1 x numar real atunci cand este ridicat la patrat, va fi mai mic decat numarul de baza.
$x^{2}<x$ pentru orice x<1. Asta se poate demonstra usor
$x^{2}-x<0\Rightarrow x(x-1)<0$ vedem ca are 2 solutii x1=0 x2=1, functia de gradul 2 este convexa pentru ca coeficientul lui x^2 este pozitiv, atunci va fi valoare negativa doar intre radacinile [x1,x2] adica [0,1] Deci relatia este adevarata pentru acest interval
Cum putem observa in relatia de mai sus pentru f(n) in intervalul [1,2] avem
$1<f(n)\<2\Rightarrow 0<f(n)-1<1$ Deci este in intervalul [0,1] si acel patrat va tot creste.
Am demontrat la punctul anterior ca f(n) este marginit la [1,2] daca f(0) este in [1,2] ceea ce f(0)=1.5 este in interval. Atunci inseamna ca functia f(n) va fi descrescatoare din cauza termenului la patrat (f(n-1)-1)^2 care va scade in continuu.
c) Daca f(0)=1 atunci
$f(0+1)=(f(0)-1)^{2}+1=(1-1)^{2}+1=1\Rightarrow f(1)=1$ deci toate valorile f(n) indiferent de n vor fi egale cu 1. Ca sa demonstrezi asta, trebuie sa aplici din nou inductie matematica. Presupunand ca f(k)=1 k numar natural atunci
$f(k+1)=(f(k)-1)^{2}+1=(1-1)^{2}+1=1\Rightarrow f(k+1)=1$
Deci presupunerea se confirma, f(n)=1 indiferent de n.