Matematică, întrebare adresată de nicoaramihai199, 8 ani în urmă

Problema cu matrici.

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Ol3g
1

GENERALIZAȚIE:

Aceste puncte 4. a) și b) sugerează următoarele proprietăți:

i)  \forall k\in\mathbb{N} \quad X^k=P^{-1}A^kP;

ii)  \forall q\in\mathbb{C}[x]\quad q(X)=P^{-1}q(A)P,

unde \mathbb{C}[x] este spațiul (linear) al polinomilor cu coeficienți în \mathbb{C}.

Prima se arată prin inducție în k și lăs ca exercițiu pentru cititor.

Voi demonstra ii):

Fie q\in\mathbb{C}[x]. În conformitate cu definiția mulțimii polinomilor, există m\in\mathbb{N} și există a_0,a_1,...a_m\in\mathbb{C} în așa fel încât

 p=\sum_{i=0}^{m}{a_ix^i}.

Deci, vom avea:

q(X)=q(P^{-1}AP)=\sum_{i=0}^{m}{a_i(P^{-1}AP)^i}=\sum_{i=0}^{m}{a_i\left(P^{-1}A^iP\right)}=P^{-1}\left(\sum_{i=0}^{m}{a_iA^i\right)}P=P^{-1}q(A)P.

Mai pe scurt, la problema noastră a) se rezolvă, considerând q=x^3 și b) considerând q=ax^2+bx+c.

Alte întrebări interesante