Question

Problema cu matrici.

Answer 1

GENERALIZAȚIE:

Aceste puncte 4. a) și b) sugerează următoarele proprietăți:

i) $\forall k\in\mathbb{N} \quad X^k=P^{-1}A^kP$;

ii) $\forall q\in\mathbb{C}[x]\quad q(X)=P^{-1}q(A)P$,

unde $\mathbb{C}[x]$ este spațiul (linear) al polinomilor cu coeficienți în $\mathbb{C}$.

Prima se arată prin inducție în $k$ și lăs ca exercițiu pentru cititor.

Voi demonstra ii):

Fie $q\in\mathbb{C}[x]$. În conformitate cu definiția mulțimii polinomilor, există $m\in\mathbb{N}$ și există $a_0,a_1,...a_m\in\mathbb{C}$ în așa fel încât

$p=\sum_{i=0}^{m}{a_ix^i}.$

Deci, vom avea:

$q(X)=q(P^{-1}AP)=\sum_{i=0}^{m}{a_i(P^{-1}AP)^i}=\sum_{i=0}^{m}{a_i\left(P^{-1}A^iP\right)}=P^{-1}\left(\sum_{i=0}^{m}{a_iA^i\right)}P=P^{-1}q(A)P.$

Mai pe scurt, la problema noastră a) se rezolvă, considerând $q=x^3$ și b) considerând $q=ax^2+bx+c$.