Question

Problema este anexata.

Answer 1

Metoda I

Ai schema atasata. Scriem relatiile scalare si cele analoage scalare:

$\vec{T}=\vec{T_x}+\vec{T_y}\implies T_y=T\sin\alpha, T_x=T\cos\alpha$

Oy: $\vec{T_y}+\vec{G}=0\implies mg=T\sin\alpha$

Ox: $\vec{T_x}+\vec{F_{cp}}=0\implies m\omega^2R=T\cos\alpha$

Din aceste doua relatii scoatem viteza ungiulara:

$m\omega^2R=\dfrac{mg}{\sin\alpha}\cos\alpha\implies \omega=\sqrt{g\text{ctg }\alpha/R}$

Calculam apoi din trigonometria sistemului $\text{ctg }\alpha$:

$\text{ctg }\alpha=\dfrac{R}{\sqrt{L^2-R^2}}$

Deci:

$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{\sqrt{L^2-R^2}}}$

Frecventa de rotatie este notata cu $\nu$ ("Niu") si se exprima prin $\nu=t^{-1}$, unde $t$ este perioada de rotatie. Prin urmare:

$\nu=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{\sqrt{g}}{2\pi\sqrt[4]{L^2-R^2}}$

Numeric: $\nu\approx 1,7794\:s^{-1}$

Metoda II

Scrii aceleasi relatii, numai ca in loc de formula $m\omega^2/R$ folosesti $mv^2/R$, si obtii:

$v=\sqrt{gR\text{ctg }\alpha}$

Apoi ca sa aflii cotangenta, in loc de Pitagora folosesti o identitate din trigonometrie $\sin^2x+\cos^2x=1\implies \sin x=\sqrt{1-\cos^2x}$ si continui cu relatia:

$\text{ctg }\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}=\dfrac{R/L}{\sqrt{1-R^2/L^2}}=3/4$

Iar mai departe, pentru frecventa:

$\nu=\dfrac{v}{2\pi R}=\dfrac{\sqrt{g\text{ctg }\alpha}}{2\pi\sqrt{R}}\approx 1,779\:s^{-1}$