Question

Problema polinoame

Problema numarul 221 daca ma puteti ajuta...Mie imi da raspunsul A, dar nu este corect...Problema numarul 221.

Answer 1

Trebuie sa transformi polinomul P astfel incat sa fie un multiplu al polinomului $X^{3}+X$ adunat cu restul. Multiplul celui de-al doilea polinom este de forma $Q(X)*(X^{3}+X)$ unde Q(X) este orice polinom de X
Incepem cu primul termen
$X^{100}$ E clar ca pentru a obtine un multiplu al polinomului al doilea ar trebui sa fie adaugat un termen X la puterea 98
$X^{100}+X^{98}=X^{98}(X^{3}+X)$ Dar acest termen nu apare in polinomul initial, asa ca trebuie scazut din polinomul oficial
$X^{100}+X^{98}-X^{98}=X^{97}(X^{3}+X)-X^{98}$

Acum trebuie sa facem urmatorul termen din polinom X^{98} sa fie divizibil cu polinomul doi. Pentru aceasta, trebuie sa scadem inca un termen cu doua grad cu doi mai mic, dar apoi pentru ca nu apare in polinomul oficial trebuie sa-l scadem si sa-l adunam
$X^{97}(X^{3}+X)-X^{98}-X^{96}+X^{96}=X^{97}(X^{3}+X)-X^{95}(X^{3}+X)+X^{96}$Acum termenul X^{96} devine divizibil daca adaugam termen cu grad doi mai mic, dar apoi il scadem
$X^{97}(X^{3}+X)-X^{95}(X^{3}+X)+X^{96}+X^{94}-X^{94}=X^{97}(X^{3}+X)-X^{95}(X^{3}+X)+X^{93}(X^{3}+X)-X^{94}$
Deja poti vedea acum modelul, si trebuie sa facem operatia asta pana la intalnirea celuilalt de-al doilea termen din polinom $X^{50}$
Observi ca regula generala este
$(-1)^{k+1}*X^{100-(2k+1)}*(X^3+X)$ unde k incepe de la 3 deci primul termen este
$(-1)^(1+1)*X^{100-(2*1+1)}*(X^3+X)=X^{97}*(X^{3}+X)$
urmatorul termen este
$(-1)^(2+1)*X^{100-(2*2+1)}*(X^3+X)=-X^{95}*(X^{3}+X)$
Ultimul termen k care va fi folosit inainte de termenul $X^{50}$ apare pentru k=24
$(-1)^(24+1)*X^{100-(2*24+1)}*(X^3+X)=-X^{51}*(X^{3}+X)$
Primul termen din paranteza este acoperit de operatia precedenta, deci il vom adauga doar pe al doilea. Asadar avem
$X^{97}*(X^{3}+X)-X^{95}*(X^{3}+X)+X^{93}*(X^{3}+X)-...-X^{51}*(X^{3}+X)+X^{52}+X^{50}=X^{97}*(X^{3}+X)-X^{95}*(X^{3}+X)+X^{93}*(X^{3}+X)-...-X^{51}*(X^{3}+X)+X^{50}(X^{3}+X)$
Prin aceasta constructie, ai demonstrat practic ca primii doi termeni ai polinomului $X^{100}+X^{50}$ se impart exact la polinomul al doilea
Acum ramane sa cautam polinomul in rest
$-2X^{4}-X^{3}+X+1=-2X^{4}-2X^{2}+2X^{2}-X^{3}-X+X+X+1=-2X(X^{3}+X)-(X^{3}+X)+2X^{2}+2X+1$ Deci e clar ca restul va fi
$2X^{2}+2X+1$