Question

Problema TG 22 din culegerea de admitere la UPT, pentru 2019.

Answer 1

Salut,

$tgx+ctgx=3\Leftrightarrow\dfrac{sinx}{cosx}+\dfrac{cosx}{sinx}=3\Leftrightarrow\dfrac{sin^2x+cos^2x}{sinx\cdot cosx}=3\\\\\Leftrightarrow\dfrac{1}{sinx\cdot cosx}=3\Rightarrow sinx\cdot cosx=\dfrac{1}{3}\ (1).\\\\Fie\ f(x)=sinx-cosx,\ unde\ x\in\left(0,\ \dfrac{\pi}{4}\right).$

Derivata funcției f(x) este:

f ‘ (x) = cosx — (—sinx) = sinx + cosx > 0, pentru că între 0 și π/4, atât sinx, cât și cosx iau numai valori pozitive. Cum derivata este pozitivă, înseamnă că funcția f(x) este crescătoare.  

f(0) = sin0 – cos0 = 0 – 1 = –1.

f(π/4) = sin(π/4) – cos(π/4) = √2/2 – √2/2 = 0, deci funcția crește de la valoarea –1 la valoarea 0, deci pe tot intervalul (0, π/4) funcția ia numai valori negative, deci sinx -- cosx < 0 (2).

(sinx – cosx)² = sin²x – 2·sinx·cosx + cos²x = 1 – 2·sinx·cosx = 1 -- 2/3 = 1/3, deci (sinx – cosx)² = 1/3.

$Deci\ sinx-cosx=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}.$

Admitem doar valoarea negativă, deci:

$sinx-cosx=-\dfrac{\sqrt3}{3}.$

Varianta corectă este deci a).

Ai înțeles ? :-).

Green eyes.