Question

Problemele 1 si 2..........

Answer 1

1) Daca triunghiul ABC este isoscel cu AB=AC, atunci si unghiurile opuse lor sunt egale
$\angle{ABC}=\angle{BCA}$ (1)
Daca BI si CI sunt bisectoarele celor doua unghiuri, atunci unghiurile formate in triunghi sunt jumatate dintre unghiurile totale si egale intre ele
$\angle{IBC}=\frac{\angle{ABC}}{2}$ (2)
$\angle{ICB}=\frac{\angle{BCA}}{2}$ (3)
din (1)(2)(3) reiese ca
$\angle{IBC}=</span>\angle{ICB}=\frac{\angle{ABC}}{2}<span>$
Atunci putem scrie relatiile de unghiuri din triunghiul BIC
$\angle{IBC}+\angle{ICB}+\angle{BIC}=180\Rightarrow 2\angle{IBC}=180-\angle{BIC}=180-110=70\Rightarrow 2*\frac{\angle{ABC}}{2}=70\Rightarrow \angle{ABC}=70$
Din relatia 1 stim ca
$\angle{BCA}=\angle{ABC}=70$
Atunci putem calcula unghiul BAC din relatiile din triunghiul ABC
$\angle{BCA}+\angle{ABC}+\angle{BAC}=180\Rightarrow \angle{BAC}=180-2\angle{ABC}=180-2*70=180-140=40$
b) Daca BI si CI sunt bisectoare a doua unghiuri din triunghiul ABC, atunci I este cercul centrului inscris in triunghi si intersectia bisectoarelor din triunghi.  AI este bisectoarea unghiului BAC deci
$\angle{IAC}=\frac{\angle{BAC}}{2}=\frac{40}{2}=20$
Atunci putem calcula unghiul AIC din triunghiul respectiv
$\angle{IAC}+\angle{ICA}+\angle{AIC}=180\Rightarrow \angle{AIC}=180-\angle{IAC}-<span>\angle{ICA}=180-20-\frac{70}{2}=160-35=125</span>$

2) a) Te las pe tine sa faci desenul
    b) Daca E este simetricul lui B fata de D atunci stim ca:
        BD=DE(segmentele sunt egale)
        si unghiurile formate fate de dreapta AC in punctul D sunt egale
        $\angle{ADB}=\angle{ADE}=90$ caci stim ca BD perpendicular pe AC
     Ne uitam la triunghiul ABE. In acest triunghi, AD este perpendicular pe BE, deci este inaltime in triunghi, dar in acelasi timp, AD este si mediana in triunghi, D fiind mijlocul lui BE.
Din aceste doua relatii rezulta ca ABE este isoscel. AD este si inaltime si mediana, dar este si bisectoare a unghiului BAE
Atunci:
$\angle{BAC}=\angle{DAE}=\frac{BAE}{2}=30\Rightarrow \angle{BAE}=60$
Deci stim ca ABE este un triunghi isoscel cu un unghi de 60 grade, ceea ce e suficient sa arate ca ABE este de fapt un triunghi echilateral
c) Daca ABE este echilateral atunci BE=AB. Dar stim ca AB=10. Atunci BE=10. mai stim ca $BD=DE=frac{BE}{2}=5$
Aria unui triunghi este proportionala cu inaltimea si baza. Avem inaltimea BD si baza AC atunci
$A_{ABC}=\frac{BD*AC}{2}=\frac{5*10}{2}=5*5=25$
d) La asta ma mai gandesc putin