Question

Produsul a doua numere naturale este 105. Aflati cele doua numere, stiind ca modulul diferentei lor este patrat perfect.

Answer 1

Din enuntul problemei avem ca:
$a,b$∈N, $a*b=105$ si trebuie sa verifice si conditia $|a-b| - p^{2}$, p∈N.

Observam ca:
105=3*5*7
deci 105 se poate obtine si din produsul a trei numere naturale, dar in cazul de fata avem ca 105 este rezultatul produsului a doua numere naturale a, b. In aceste conditii a si b pot lua valorile corespunzatoare uneia din perechile posibile de doua numere care inmultite sa dea rezultatul 105. Multimea acestor perechi de doua numere este: 
M={(3; 35), (15; 7), (5;21)}
Pentrua determina pe a, respectiv b vom considera pe rand fiecare din perechile de numere ale multimii M.

1)  Pentru prima pereche avem: a=3, b=35 ⇒ a*b=3*35=105
|a-b|=|3-35|=|-32|=32
In acest caz |a-b| nu este patrat perfect deoarece $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

2) Pentru a-II-a pereche avem: a=15, b=7⇒a*b=15*7=105
|a-b|=|15-7|=|8|=8
Nici in acest caz |a-b| nu este patrat perfect deoarece $\sqrt{8} =2 \sqrt{2}$

3) Pentru cea de-a treia pereche avem: a=21, b=5 ⇒a*b=21*5=105
|a-b|=|21-5|=|16|=16
In acest caz |a-b| este patrat perfect deoarece $\sqrt{16} = 4$

Asadar perechea de numere cautata este: a=21, b=5