Question

Punctele A(0;rad3) si B(-1;0) sunt varfuri ale unui triunghi echilateral ABC.
Determinati coordonatele varfului C.

Answer 1

FIE C(cx,cy)

Figurezi   punctele    in  reperul Oxy

OB=1

OA=√3

IN triunghiul dreptunghic AOB   aplici   tangenta unghiului  B

tg<B=OA/OB=√3/1=√3=>  <B=60grade

Tragi    concluzia   ca    punctul   C se   afla   pe     axa   Ox  DEci

C(cx,0)

Atunci   rezulta   ca    AO este    inaltime     dar    si    mediatoare

O  mijlocul   segment  [AC]

=>

(bx+cx)/2=0

(-1+cx)=0=>cx=1

DEci   C(1,0)

Answer 2

ΔABC este echilateral daca si numai daca AB=BC=CA .

Asadar avem A(0,√3) si B(-1,0) => AB=√(0-1)²+(√3 -0)² =√1+3 =√4 =2 => AB=2 (u.m.) => consideram punctul C(x₁,x₂) de unde BC=√(-1-x₁)²+(0-x₂)² =2 <=>

(-1-x₁)²+(0-x₂)²=4 <=> 1+2x₁ +x₁²+x₂²=4 <=> x₁²+2x₁ +x₂²=3 ;

CA=√(x₁-0)²+(x₂-√3)² =2 <=> (x₁-0)²+(x₂-√3)²=4 <=> x₁² +x₂² -2√3x₂ +3=4 <=>

x₁² +x₂² -2√3x₂=1 => 2x₁+2√3x₂=2 <=> x₁+√3x₂=1 => dar deoarece x₁,x₂∈N iar √3∉N singura varianta posibila este x₂=0 => x₁=1 => C(1,0) .