Question

Punctul b, va rog. Răspuns : a apartine {0,-1,2}

Answer 1

$\displaystyle\it\\M=\begin{pmatrix} 2a&-a\\2a & -a\end{pmatrix},~a\in\mathbb{R}~.\\A^2+A^3=2A,~calculam~A^2~si~A^3.\\A^2=\begin{pmatrix} 2a&-a\\2a & -a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2a&-a\\2a & -a\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2a^2& -a^2\\2a^2&-a^2\end{pmatrix}~.\\A^3=A^2\cdot A= \begin{pmatrix} 2a^2& -a^2\\2a^2&-a^2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2a&-a\\2a & -a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a^3& -a^3\\2a^3 & -a^3 \end{pmatrix}.$

$\displaystyle\it$$\displaystyle\it\\2A=2\begin{pmatrix} 2a&-a\\2a&-a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a&-2a\\4a&-2a \end{pmatrix}.\\A^3+A^2=\begin{pmatrix} 2a^2(1+a) & -a^2(a+1)\\2a^2(1+a)&-a^2(a+1) \end{pmatrix}.\\egalam,~si~obtinem:\begin{pmatrix} 4a&-2a\\4a&-2a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a^2(1+a) & -a^2(a+1)\\2a^2(1+a)&-a^2(a+1) \end{pmatrix},~de~unde\\obtinem~deci~:~\\\left \{ {{4a=2a^2(1+a)} \atop {-2a=-a^2(a+1)}} \right,~adunam~cele~doua~relatii:\\2a=a^2+a^3,~\Big(faci~tu~simplificarile\Big).$

$\displystyle\it\\2a-a^2-a^3=0 \Leftrightarrow a(a-1)(a+2)=0,~de~unde~\boxed{\it a\in \left\{-2,0,1\right\}}~.$