Question

Punctul c)
..................​.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$\texttt{Presupunem ca polinomul admite cel putin doua radacini intregi.}\\\texttt{Din relatiile lui Viete avem ca:}\\x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1\cdot x_2+x_2\cdot x_3+x_3\cdot x_1)=\\=0^2-2\cdot (-5)=10\\\texttt{Fara a generaliza putem presupune ca }x_1^2\geq x_2^2\geq x_3^2\\\texttt{Atunci }x_1^2+x_2^2+x_3^2\geq 3x_3^2,\texttt{ adica }\dfrac{10}{3}\geq x_3^2\\\texttt{Cum }x_3\in\mathbb{Z}\texttt{ deducem urmatoarele posibilitati: }x_3\in\{-1,0,1\}$

$\texttt{Daca }x_3\in \{-1,1\}\texttt{ atunci }x_1^2+x_2^2=9,\texttt{ ceea ce ar inseamna ca }\\x_1,x_2\in\{0,\pm 3\},\texttt{ contradictie cu }x_1^2\geq x_2^2\geq x_3^2.\texttt{Singura solutie }\\\texttt{valabila este }x_3=0.\\x_1^2+x_2^2=10, \texttt{ de unde se obtin solutiile }(x_1,x_2)=(\pm3,\pm 3).\\\texttt{Din relatiile lui Viete mai stim ca }x_1+x_2+x_3=0.\\\texttt{Pentru orice solutie am lua ( de exemplu (3,1,0)) , nu se }\\\texttt{obtine aceasta suma, prin urmare presupunerea facuta este falsa}$