Question

Punctul c) va rog frumos

La b) am demonstrat ca A^n=A, daca ajuta cumva in demonstratie.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$\displaystyle\text{Nu e nevoie de inductie, se poate demonstra cu binomul lui Newton.}\\(I_2+3A)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k I_2^{n-k}(3A)^k=\sum_{k=1}^{n}C_n^k (3A)^k+I_2 =\\ =\sum_{k=1}^n C_n^k\cdot 3^kA^k+I_2\stackrel{b)}{=}\sum_{k=1}^nC_n^k\cdot 3^k \cdot A+I_2=\left(\sum_{k=0}^nC_n^k\cdot 3^k-1\right)A+I_2=\\=((3+1)^n-1)A+I_2=I_2+(4^n-1)A,~~Q.E.D.$

Answer 2

Răspuns:

I2^n=I2 fiind elementul neutru la inmultire

A^0=I2

Explicație pas cu pas:

BINEINTELES CA TE VEI FOLOSI DE FAPTUL CA a^N=a PENTRU ORICE N

(I2+3A)^n=dezvoltam cu binomul lui Newton=([C de n luate cate 0]*I2^n*3^0*A^0+[C de n luate cate 1]*I2^(n-1)*3^1*A^1+...+[C de n luate cate n]*I2^0*3^n*A^n= [C de n luate cate 0] * I2*1*I2+[C de n luate cate 1]*I2*3*A+....[C de n luate cate n] *I2*3^n*A= I2*+A*( [C de n luate cate 1]+3*[C de n luate cate 1]+...3^n*[C de n luate cate n])=I2+A( [C de n luate cate n-1]*3^(n-1)+[C de n luate cate n]3^n)

se mai tine cont ca avem C de luate cate k=C de n luate cate n-k si deducem formula!