Question

punctul de tangenta al cercului inscris intrun triunghi dreptunghic imparte cateta mai mare in segmente de lungimi proportionale cu numerele 1 si 3. Determinati lungimile laturilor triunghiului, daca perimetrul lui este egal cu 7,2cm

Answer 1

sa spunem ca triunghiul dreptunghic este notat cu ABC, unghiul A=90 grade, AB,AC catete cu AB>AC si BC ipotenuza

Centrul cercului inscris al unui triunghi este la intersectia tuturor bisectoarelor din triunghi, deci daca cateta AB are punctul de tangenta la cerc D, atunci AD este bisectoarea unghiului C.
Teorema bisectoarei spune ca raportul dintre laturile adiacente unghiului al carei bisectoare am trasat-o este egal cu raportul segmentelor in care este impartita latura opusa. Atunci
$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}=3\Rightarrow BC=3AC$
Dar stim ca este si triunghi dreptunghic asa ca putem scrie relatia lui Pitagora
$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}\Rightarrow AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=9AC^{2}-AC^{2}=8AC^{2}\Rightarrow AB=2\sqrt{2}AC$
Atunci perimetrul unghiului este:
$AB+AC+BC=2\sqrt{2}AC+AC+3AC=AC(4+2\sqrt{2})=7.2\Rightarrow AC=\frac{7.2}{<span>4+2\sqrt{2}</span>}=1.05$
Atunci
$BC=3AC=3*1.05=3.15$
$AB=7.2-AC-BC=7,2-1.05-3.15=7.2-4.2=3$