Question

Punctul K imparte mediana AD a triunghiului ABC in raportul AK/KD =3.
In ce raport imparte dreapta BK aria triunghiului ABC?

Answer 1

presupun ca se cere raportul ariilor triunghiului DKB si ABC
stim ca mediana in orice triunghi il imparte pe acesta in 2 triunghiuri echivalente (cu aceiasi arie). asta se demonstreaza f.simplu.
daca AK/KD=3 ⇒ (AK+KD)/KD=(3+1)/1, (proprietatea rapoartelor)
AD/KD=4 ⇒ AD=4KD
ducem KE⊥CB si AF⊥CB, E si F∈CB
se arata f. usor ca KE/AD=KD/AD pentru ca triunghiurile KDE si ADF sunt asemenea.
in concluzie:
KE/AF=1/4
si acum sa observam ca triunghiurile CDK si DKB , CAD si DAB sunt echivalente
notam aria DKB cu a si aria DAB cu A
a=DB x KE/2
A=DB x AF/2
a/A=KE/AF=KD/AD=1/4
notam cu At aria triunghiului ABC
At=2A(aria tr. ABC e 2 x aria tr.ADB)
a/2A = 1/8
sper ca am fost destul de explicit, iar daca sunt dubii nu ezita sa intrebi.