Question

Punctul M este egal depărtat de laturile triunghiului ABC. Aflaţi: a) măsurile unghiurilor triunghiului ABC, dacă m(<MAC)=30°, m(<ACM)=40°; b) m(<BAM) şi m(<BCM), dacă m(<BAC)=74°, m(<ABC)=70°; c) m(<AMC) şi m(<BMC), dacă m(<BAC) = 46°, m(<ABC)=100%; d) măsurile unghiurilor triunghiului ABC, dacă m(<AMB)=100°, m(<BMC)=130°.​

Answer 1

• Dacă punctul M este egal depărtat de laturile triunghiului ABC, atunci este centrul cercului înscris în triunghi.
• Centrul cercului înscris într-un triunghi se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

$m(\measuredangle A)+m(\measuredangle B)+m(\measuredangle C) = {180}^{0}$

$\dfrac{m(\measuredangle A)}{2} + \dfrac{m(\measuredangle B)}{2} + \dfrac{m(\measuredangle C)}{2} = {90}^{0}$

a)

m(∢A) = 2×m(∢MAC) = 2×30° = 60°

m(∢C) = 2×m(∢ACM) = 2×40° = 80°

m(∢B) = 180°-(60°+80°) = 40°

b)

m(∢BAM) = m(∢BAC):2 = 74°:2 = 37°

m(∢BCM) = m(∢ABC):2 = 70°:2 = 35°

c)

m(∢C) = 180° - [m(∢A)+m(∢B)] = 180° - (46°+100°) = 180° - 146° = 34°

• în ΔAMC:

m(∢AMC) = 180° - [m(∢MAC)+m(∢MCA)] = 180° - [½×m(∢A) + ½×m(∢C)] = 180° - (23°+17°) = 140°

• în ΔBMC:

m(∢BMC) = 180° - [m(∢MBC)+m(∢MCB)] = 180° - [½×m(∢B) + ½×m(∢C)] = 180° - (50°+17°) = 113°

d)

• în ΔAMB:

m(∢AMB) = 180° - [m(∢MAB)+m(∢MBA)] = 180° - [½×m(∢A) + ½×m(∢B)] = 180° - [90°-½×m(∢C)] = 90° + ½×m(∢C)

100° = 90° + ½×m(∢C) ⇔ ½×m(∢C) = 10°

⇒ m(∢C) = 20°

• în ΔBMC:

m(∢BMC) = 180° - [m(∢MBC)+m(∢MCB)] = 180° - [½×m(∢B) + ½×m(∢C)] = 180° - [90°-½×m(∢A)] = 90° + ½×m(∢A)

130° = 90° + ½×m(∢A) ⇔ ½×m(∢A) = 40°

⇒ m(∢A) = 80°

⇒ m(∢B) = 180° - [m(∢A)+m(∢C)] = 180° - (80°+20°) = 180° - 100° = 80°