Question

puteți sa îmi rezolvați exercițiul acesta și cum adica cos2x>0​ dau coroana

Answer 1

Răspuns:

rezolvare

Explicație pas cu pas:

$2ctg2x-ctgx=sin2x+3sinx$

$2*\frac{cos2x}{sin2x} -\frac{cosx}{sinx} =2sinxcosx+3sinx$

Stim ca $sin2x=2sinxcosx, ctgx=\frac{cosx}{sinx} , cos2x=cos^{2} x-sin^{2} x, cos2x=2cos^{2} x-1$

ultima folosind $sin^{2} x+cos^{2} x=1$, desi sunt destul de uzuale

$2*\frac{2cos^{2}x-1 }{2sinxcos} -\frac{cos^{2} x}{sinxcosx} =2sinxcosx+3sinx$

$\frac{cos^{2} x-1}{sinxcosx} } =2sinxcosx+3sinx$

$cos^{2} x-1=cos^{2} x-sin^{2} x-cos^{2} x=-sin^{2} x$

$\frac{-sin^{2} x}{sinxcosx} } =2sinxcosx+3sinx$

$\frac{-sinx}{cosx} =2sinxcosx+3sinx$

$\frac{-1}{cosx} =2cosx+3$

$2cos^{2} x+3cosx+1=0$

delta=1 si ies solutiile cosx=-1(*) si cosx=$\frac{-1}{2}$ (**), $cosx\in[-1,1]$, ambele verifica.

$cos2x\geq 0$ aceasta se rezolva foarte usor cu graficul functiei cosinus de unde reiese ca 2x apartine reuniunii tutuor intervalelor de forma $[2k\pi -\frac{\pi }{2} ,2k\pi +\frac{\pi }{2} ]$, cele de deasupra axei Ox (graficul se face in clasa la ora cred ca il ai)

Deci $x\in\bigcup[k\pi -\frac{\pi }{4} ,k\pi +\frac{\pi }{4}]$, U ala se refera la reuniunea tuturor intervalele de forma, e doar o notatie, adica x aparine zonelor portocalii (cum 2x pozitiv si x pozitiv) (1)

(*) si (**) le intersectam cu (1) pt a avea rezultatul final:

cosx=-1(*)

$cos[(2k+1)\pi ]=-1,k\in\mathbb{Z}$

deci $x_{1} =(2k+1){\pi ,k\in\mathbb{Z}$

ne folosim de (1) dar aicea e destul de usor ca stim ca cos(2kpi)=1>0 si cos(2kpi+1)=-1<0 deci $S_{1} =(2k+1){\pi ,k\in\mathbb{Z}$. (pentru ca x1=impar*pi adica cosx<0, iar 2x1=par deci cos2x1>0) In acest caz solutia e chiar x1.

cosx=$\frac{-1}{2}$(**)

$x_{2} =\pm arccos(\frac{-1}{2} )+2k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$x_{2} =\pm \frac{2\pi }{3} +2k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\frac{2\pi }{3} =0.6\pi$

Cel mai usor de explicat ar fi asa, x trebuie sa apartna in zonele portocli, iar 0,6pi+2pi trece de 2,5pi, deci nu apartine. Asemanator 2pi-0.66 este sub 1,5pi deci iara nu apartine. Am luat exemplu cu k=1 dar merge pentru oricare k apartine lui Z.

$S_{2} =\varnothing$

deci $S=S_{1} \cup S_{2}= [(2k+1)\pi |k\in\mathbb{Z}]$.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: