Question

puteti sa mi faceti demonstratia ca primitiva functiei ㏑x÷√x
este 2√x(㏑x-2) ?

Answer 1

$\int\limits {\dfrac{\ln x}{ \sqrt x}} \, dx = \int\limits {\dfrac{1}{ \sqrt x}}\cdot \ln x \, dx = 2\cdot \int\limits {\dfrac{1}{2\sqrt x}}\cdot \ln x \, dx = \\ \\ = 2\cdot \int\limits {(\sqrt x)'\cdot \ln x \, dx = 2\cdot \Big(\sqrt x\cdot \ln x - \int\limits \sqrt x \cdot (\ln x)' \, dx \Big) = \\ \\ =2 \cdot \Big(\sqrt x\cdot \ln x - \int\limits \sqrt x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \Big) = 2\cdot \Big[\sqrt x\cdot \ln x- \int\limits \dfrac{1}{\sqrt x} \, dx\Big) =$
$\\ \\ =2\cdot \Big(\sqrt x\cdot\ln x-2\cdot \int\limits \dfrac{1}{2\sqrt x} \, dx\Big) = 2\cdot \Big(\sqrt x\cdot\ln x-2\cdot \int\limits (\sqrt x)' \, dx\Big) = \\ \\ = 2\cdot \Big(\sqrt x\cdot\ln x-2\cdot \sqrt x\Big) = 2\cdot \sqrt x\cdot \Big(\ln x- 2\Big)$


Sau, a doua varianta era sa il derivezi pe 2√x(lnx-2) si sa arati ca e egal cu acea primitiva, probabil varianta cu derivata era mai simpla.