Matematică, întrebare adresată de Lucian67, 8 ani în urmă

Putin ajutor la aceasta integrala.

Anexe:

GreenEyes71: Încearcă prin integrare prin părți și cu substituția universală de la trigonometrie. Știi la ce mă refer ?

Lucian67: da, am incercat mi-a acel raport -1/2(tg x/2 -1)^2

Lucian67: mai am acel e^x inmultit, si integrala e cam complicata din acest punct

Lucian67: prin parti nu duce la o forma prea frumoasa

Lucian67: -1/2(tg x/2 + 1)^2 * e^x (am pus din greseala - cand am scris mai sus)

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

$\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}\cdot e^{x}\, dx\Big)=\\ \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\, dx +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^x\cdot \dfrac{1}{1+\cos x}\, dx = \\ \\ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\, dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cdot \Big(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\Big)'\, dx=$

$\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\, dx+\\ +e^x \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\, dx = \\ \\ \\= e^x \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \\ \\ = e^{\frac{\pi}{2}}\cdot 1 - 0 = e^{\frac{\pi}{2}} \\ \\ \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{\pi}{2}}$