Question

R(t) egal cu 4i +2tj+3t^3k.Vectorul de poziție a unei particule depinde de legea :a)Sa se reprezinte poziția particulei la momentul de timp t=1s;b)Sa se determine expresia vectorului viteza și a vectorului acceleratie .c)Sa se calculeze mărimea vitezei și a accelerației la momentul de timp t=2s;c)Sa se afle viteza medie a particulei in intervalul de timp t=1s;t=2s

Answer 1

$\vec{r}(t)=4\vec{i}+2t\vec{j}+3t^3\vec{k}\\\\\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\lim_{\delta t\to 0}\dfrac{\vec{r}(t+\delta t)-\vec{r}(t)}{\delta t}=2\vec{j}+9t^2\vec{k}\\\\\vec{a}(t)=\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=18t\vec{k}$

a) La $t=1s$: $\vec{r}(t)=4\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$. Deci pozitia particulei se reprezinta in spatiul $Oxyz$ la coordonatele $x=4, y=2, z=3$.

b) Am rezolvat mai sus.

c) $\vec{v}(2s)=2\vec{j}+36\vec{k}\implies v=|\vec{v}|=\sqrt{2^2+36^2}=10\sqrt{13}(m/s)\approx 36,055(m/s)$

$\vec{a}(2s)=36\vec{k}\implies |\vec{a}|=36(m/s^2)$

d) $\vec{v}_m=\dfrac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}=\dfrac{4\vec{i}+4\vec{j}+24\vec{k}-4\vec{i}-2\vec{j}-3\vec{k}}{1}=2\vec{j}+21\vec{k}$

Observatie: Rezolvarea aceasta necesita notiunea de derivata, am presupus ca iti e cunoscuta. In cazul in care nu stii derivate, aici este o strategie alternativa, care necesita putin mai mult efort de calcul. Sa spunem ca vrei sa deduci expresia lui $\vec{v}(t)$. Atunci, calculeaza $\vec{r}(t)$ la momentul $t$ si la un alt moment $t+\Delta t$, unde $\Delta t$ este un timp foarte mic in comparatie cu $t$. Cum $\vec{v}\equiv\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$, va trebui sa calculezi $\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)$, desfacand puterile si neglijand termenii care contin $\Delta t$ (la final). Spre exemplu:

$\vec{v}(t)=\dfrac{4\vec{i}+2(t+\Delta t)\vec{j}+3(t+\Delta t)^3\vec{k}-4\vec{i}-2t\vec{j}-3t^3\vec{k}}{\Delta t}\\\\\vec{v}(t)=\dfrac{2\Delta t\vec{j}+3[(t+\Delta t)^3-t^3]\vec{k}}{\Delta t}=\dfrac{2\Delta t\vec{j}+3[3t^2\Delta t+3t(\Delta t)^2+(\Delta t)^3]\vec{k}}{\Delta t}\\\\\\\vec{v}(t)=2\vec{j}+9t^2\vec{k}+9t\Delta t\vec{k}+3(\Delta t)^2\vec{k}\approx 2\vec{j}+9t^2\vec{k}\:\:(\Delta t\to 0)$