Question

radical din x^2-2x+10 +radical din y^2-4y+20+radical din z^2-6z+90 =16

Answer 1

Stim ca un nr la patrat are valoarea minima 0
$a^{2}\geq0$
cu caz de egalitate daca a=0
Ne uitam la continutul fiecarui radical in parte si vedem valoarea lui minima

$x^{2}-2x+10=x^{2}-2x+1+9=(x-1)^{2}+9$
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
$(x-1)^{2}+9\geq 0+9=9$Extragem radical
$\sqrt{(x-1)^{2}+9}\geq \sqrt{9}=3$(1)

Facem la fel pentru celelalte
$y^{2}-4x+20=y^{2}-4x+4+16=(y-2)^{2}+16$
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
$(y-2)^{2}+16\geq 0+16=16$Extragem radical
$\sqrt{(y-2)^{2}+16}\geq \sqrt{16}=4$(2)

$z^{2}-6x+90=x^{2}-6z+9+81=(z31)^{2}+81$
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
$(z-3)^{2}+81\geq 0+81=81$Extragem radical
$\sqrt{(z-3)^{2}+81}\geq \sqrt{81}=9$(3)
Adunam acum cele 3 inegalitati obtinute (1) (2) (3)
$\sqrt{(x-1)^{2}+9}+\sqrt{(y-2)^{2}+16}+\sqrt{(z-3)^{2}+81}\geq 3+4+9=16$
deci suma celor 3 radicali va fi intotdeauna mai mare decat 16 cu exceptia cazului in care cele 3 patrate sunt egale cu 0.
Atunci avem solutia unica
$x-1=0\Rightarrow x=1$
$y-2=0\Rightarrow y=2$
$z-3=0\Rightarrow z=3$