Question

Raportul catetelor unui triunghi dreptunghic este egal cu 8 (supra)15, iar perimetrul triunghiului are 240 cm . Calculati:a)lungimile catetelor si a ipotenuzei b)lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei.

Answer 1

a)  Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A.

Notăm lungimile laturilor:  BC = a,  AC = b, AB = c.

$\it \dfrac{c}{b}=\dfrac{8}{15}\Rightarrow c=8k,\ \ b=15k,\ \ k\in\mathbb{N}^*\\ \\ Cu\ teorema\ lui\ Pitagora \Rightarrow a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a^2=(15k)^2+(8k)^2=\\ \\ 225k^2+64k^2=289k^2 =17^2k^2 \Rightarrow a=17k\\ \\ \mathcal{P}=240 \Rightarrow a+b+c= 240 \Rightarrow 17k+15k+8k=240 \Rightarrow 40k=240|_{:40} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow k=6$

$\it a=17\cdot6=102\ cm\\ \\ b=15\cdot6=90\ cm\\ \\ c=8\cdot6=48\ cm$

b) Fie AD - înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

$\it AD=\dfrac{AB\cdot AC}{BC} =\dfrac{48\cdot90}{102}=\dfrac{\ \ 4320^{(6}}{102}=\dfrac{720}{17} \approx 42,35\ cm$

Answer 2

Notam cu

a si b  dimensiunile catetelor, iar cu c respectiv dimensiunea ipotenuza

Petrimetrul triunghiului = a + b +c

P = 240 cm

a)

$\it\dfrac{a}{b} = \dfrac{8}{15}$

$\it a = \dfrac{8\cdot b}{15}$

$\it a +b +c = 240$

pentru a afla ipotenuza folosim teorema lui Pitagora si vom avea

$\it c^{2} =a^{2} +b^{2}$

$\it c^{2} = \dfrac{64b^{2}}{225} +b^{2}$

$\it c^{2}=\dfrac{64b^{2}+225b^{2}}{225}$

$\it c^{2}= \dfrac{289b^{2}}{225}$

$\boxed{\it c=\dfrac{17b}{15}}$

$\it \dfrac{8b }{15} +b+\dfrac{17b}{15}=240\:\:|\cdot15$

$\it 8b + 15b +17b = 240\cdot 15$

$\it 40b = 3600\:\:|:40$

$\boxed{\it b = 90\:cm}$

$\it a = \dfrac{8\cdot 90}{15}$⇒ $\boxed{\it a = 48 \: cm}$

$\it c=\dfrac{17\cdot 90}{15}$⇒ $\boxed{\it c=102\:cm}$

b)

h = inaltimea corespunzatoare ipotenuzei

$\it h =\dfrac{a\cdot b}{c}=\dfrac{48\cdot90}{102}=\dfrac{4320}{102}=42,35\:cm$