Referat suma lui gauss va rog rapid!!!!!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Cum a făcut acest lucru?
A grupat cele 100 de numere două câte două astfel încât suma fiecărei grupe să fie aceeași:
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101.
Avem 50 de grupe, deci suma este egală cu 101x50=5050.
Acest mod ingenious de a aplica proprietățile adunării (asociativitatea și comutativitatea) a
fost descoperit de un copil.Vă întrebați probabil la ce ne-ar folosi descoperirea lui Gauss? Ne ajută
să calculăm mai repede niște sume cu foarte mulți termeni.
Folosind aceeași idee putem calcula suma primelor numere natural nenule, oricare ar fi n
număr natural, dacă suma are un număr par de termeni.
Pentru a calcula S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n, unde n este număr par nenul, grupăm
convenabil termenii astfel încât suma fiecărei perechi să fie aceeași:1+n=2+(n-1)=3+(n2)=….=(n:2) + [(n:2)+1]. Sunt (n:2) perechi, deci suma este egală cu [n (n+1)]:2.
Această formulă o putem însă utiliza și dacă suma are un număr impar de termeni.
De exemplu, vrem să calculăm S=1+2+3+4+5+…+147+148+149+150+151
Suma are 151 de termeni (număr impar). Dacă folosim metoda de mai sus și grupăm termenii câte doi, unul va rămâne singur, pentru că 151 nu se împarte exact la 2 (obținem restul 1). Scrie m suma S în două moduri, o dată cu termenii în ordine crescătoare și o dată cu termenii
în ordine descrescătoare:
S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n
S=n+(n-1)+(n-2)+….+3+2+1
Adunând cele două egalități obținem:
S+S=2S=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+ (n-2)]+….+[(n-2)+3]+[(n-1)+2]+(n+1)
= (n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1) rezultă că S=[n(n+1)]:2
de n ori
Avantajul acestei variante este că se poate aplica și atunci când numărul termenilor este
impar, fără să fie nevoie să aflăm care este termenul din mijloc.
Vom încerca să calculăm urmatoarele sume:
1) S1=2+4+6+……..+58+60
Această sumă nu este una Gauss, pentru că numerele nu sunt consecutive și nici nu pleacă de
la 1. Observăm însă că îl putem da factor comun pe 2 și rezultă că suma va fi S1 = 2x(1+2+3+ ...
+29+30).
În paranteză avem o sumă Gauss, deci: S1= 2 x [(30 x 31):2] = 30 x 31 = 930
2) S2=1+3+5+……..+97+99
Nici această sumă nu este una Gauss, dar observăm că toți termenii sunt numere naturale
impare consecutive, deci putem scrie: S2= (2x0+1)+(2x1+1)+(2x2+1)+...+(2x49+1)S2= 1+1+...+1+2x1+2x2+2x3+...+2x49
50 termeni
S2= 50+2x(1+2+3+…+49)= 50+2x(49x50):2= 50+49x50
S2=50x(1+49)=50x50=2500
3) S3=1+6+11+……..+51
Din nou, această sumă nu este una Gauss, dar observăm ca avem un șir de numere în care
termenii cresc din 5 în 5 și putem scrie: S3=(5x0+1)+(5x1+1)+(5x2+1)+....+(5x10+1)
S2= 1+1+...+1+5x1+5x2+5x3+...+5x10
de 11 ori
S2= 11+5x(1+2+3+…+10)= 11+5x(10x11):2= 286
4) S4=1111+2222+3333+4444+5555+6666+7777+8888+9999
Observăm că putem da factor comun pe 1111: S4=1111x(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
S4=1111 x (9x10):2=49 995