Question

Relatii de recurenta si termenul general! Niciodata nu m-am priceput la asa ceva. Va dau cateva siruri, va rog sa imi scrieti relatia de recurenta si formula termenului general pentru ele.
1) 1; 2; 4; 7; 11; 16.... (dupa cum se vede, diferenta dintre numere creste cu 1)
2) 1; 2; 4; 8; 15; 26.....(daca analizam diferentele intre 2 termeni consecutivi; acestea formeaza un sir de numere, asemanator cu cel de la punctul anterior)
3) Sirul lui Fibbonaci/Fibonnaci/Fibonacci (ati prins ideea), la asta stiu ca relatia de recurenta este $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ dar cum arata termenul general? Adica sa il exprim pe $a_n$ doar in functie de n.
4) 1; 2; 3; 6; 36; 1296... (fiecare termen este produsul termenilor dinaintea lui)
5) 1; 2; 3; 6; 12....(fiecare termen este suma precedentilor)

Answer 1

[tex]1) (x_n): 1,2,4,7,11,16\ ...\\ \text{Relatia de recurenta este:}\\ x_n=x_{n-1}+(n-1),x_1=1\\ \text{ Observam ca au loc:}\\ x_2=x_1+1\\ x_3=x_2+2\\ x_4=x_3+3\\ ..................\\ x_n=x_{n-1}+(n-1)\\ \text{Adunand relatiile membru cu membru, observam ca $x_i$ se reduc si }:\\ x_n=x_1+1+2+3+...+(n-1)=1+\frac{n(n-1)}{2},\ \forall\ n\geq2. [/tex]

[tex]2) (y_n):1,2,4,8,15,26,\ ...\\ \text{Relatia de recurenta este: }\\ y_n=y_{n-1}+x_{n-1}=y_{n-1}+[1+\frac{n(n-1)}{2}],\ y_1=1;\\ \text{Observam ca }\\ y_2=y_1+x_1\\ y_3=y_2+x_2\\ y_4=y_3+x_3\\ .....................\\ y_n=y_{n-1}+x_{n-1}\\ \text{Adunam relatiile membru cu membru si obtinem: }\\ y_n=y_1+x_1+x_2+...+x_{n-1}=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(1+\frac{i(i-1)}{2})=\\ =1+n-1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i^2-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\\ =n+\frac{(n-1)n(2n-1)}{12}-\frac{n(n-1)}{4}[/tex]

[tex]4)(x_n):\ 1,2,3,6,36,1296,....\\ \text{Observam ca, incepand cu al patrulea termen,
fiecare termen este }\\ \text{produsul predecesorilor sai si ca primii 3 termeni nu respecta aceasta }\\ \text{regula. Asadar,}\\\forall\ n\ \textgreater \ 3\\ x_{n+1}=x_1x_2...x_{n-1}x_n=(x_1x_2...x_{n-1})x_n=x_nx_n=x_n^2 \\ x_{n+1}=x_n^2,\ \forall\ n\ \textgreater \ 3,x_1=1,x_2=2,x_3=3\\ x_4=6\Rightarrow x_5=6^2\Rightarrow x_6=(6^2)^2=6^4\\ \text{Se demonstreaza prin inductie ca } x_n=6^{2^{n-4}},\ \forall\ n\geq4. [/tex]

 $5) (x_n):\ 1,2,3,6,12,...\\ \text{Observam ca, incepand cu al treilea termen, fiecare termen este }\\ \text{suma predecesorilor sai si ca primii 2 termeni nu respecta aceasta }\\ \text{regula. Asadar,}\\ x_n=x_1+x_2+...+x_{n-1},\forall\ n\ \textgreater \ 2\\ x_{n+1}=x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n=(x_1+x_2+...+x_{n-1})+x_n\\ =x_n+x_n=2x_n\\ x_{n+1}=2x_n,\forall\ n\ \textgreater \ 2\\ x_4=2x_3=6,\ x_5=2x_4=12,\ x_6=2x_5=24,\ ...etc\\ \text{Se demonstreaza prin inductie ca }x_n=6\cdot2^{n-4},\ \forall n\ \geq4$

La sirul lui fibonacci, asa cum ai scris recurenta este 
$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}$
Unei astfel de recurente i se asociaza o ecuatie numita ecuatia caracteristica:
$r^2=r+1$
Se rezolva ecuatia si se gasesc solutiile
$r_1=\frac{1+\sqrt5}{2},r_1=\frac{1-\sqrt5}{2}$
Acum avem suficiente date sa scriem formula termenului general care este:
$x_n=c_1(\frac{1+\sqrt5}{2})^n+c_2(\frac{1-\sqrt5}{2})^n$
Mai trebuie sa aflam c1, c2, care se afla aplicand formula de mai sus pentru (conditiile initiale):x1=x2=1 si se obtine:
$c_1=\frac{1}{\sqrt5},c_2=-\frac{1}{\sqrt5}$
Astfel, putem scrie termenul general:
$x_n=\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n$
Ramane sa mai faci tu calculele, eventual sa te uiti intr-un manual de-a XI-a sa vezi mai clar formulele si alte recurente.