Question

restul impartirii 1+7+7×7....+7×7×...×7 de 2018 ori, la 19

Answer 1

Salut,

Suma din enunț se poate scrie așa:

S = 7⁰ + 7¹ + 7² + ... + 7²⁰¹⁸

Dacă scriem puterile lui 7, de la 0, 1, 2, ..., 2018, observăm că suma S are 2018 + 1 = 2019 termeni (l-am numărat și pe 0).

2019 are suma cifrelor 12 deci 2019 este multiplu de 3: 2019 = 3*673.

Asta înseamnă că suma din enunț poate fi împărțită în 673 de grupuri, fiecare grup are 3 elemente.

Scriem suma așa:

S = 1 + 7¹ + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸ + ... 7²⁰¹⁶ + 7²⁰¹⁷ + 7²⁰¹⁸ =

= 1 + 7¹ + 7² + 7³·(1 + 7¹ + 7²) + 7⁶·(1 + 7¹ + 7²) + ... + 7²⁰¹⁶·(1 + 7¹ + 7²) =

= (1 + 7¹ + 7²)(1 + 7³ + 7⁶ + ... + 7²⁰¹⁶) = (1 + 7 + 49)(1 + 7³ + 7⁶ + ... + 7²⁰¹⁶) =

= 57·(1 + 7³ + 7⁶ + ... + 7²⁰¹⁶) = 19·3·(1 + 7³ + 7⁶ + ... + 7²⁰¹⁶) = M19, adică suma din enunț este multiplu de 19.

Deci restul împărțirii sumei din enunț la 19 este 0.

Green eyes.