Question

Restul împărțirii nr. a=1+2+2²+2³+...+2³³la 7este?

Answer 1

$a=1+2+2^2+2^3+...+2^{33}$

Inmultim relatia cu 2:

[tex]2a = 2+2^2+2^3+...+2^{33}+2^{34}\\ [/tex]

Dupa cum observi, primii tremeni, mai putin ultimul, fac parte din a:

[tex]2a = a-1+2^{34}\\ a=2^{34}-1[/tex]

Verificam pe cazuri particulare restul impartirii la 7 a puterilor lui 2:

2¹ : 7 -> rest 2
2² : 7 -> rest 4
2³ : 7 -> rest 1
2⁴ : 7 -> rest 2
2⁵ : 7 -> rest 4
2⁶ : 7 -> rest 1

Dupa cum vezi, resturile se repeta din 3 in 3 ==> Daca restul impartirii exponentului la 3 este 0, atunci restul impartirii numarului la 7 este 1.

2³³ are exponentul divizibil cu 3 ==> restul impartirii la 7 este 1

Restul impartirii la 7 al lui a este 1 - 1 = 0