Question

Restul obtinut prin impartirea numarului natural x la 24 este 11, iar restul obtinut prin impartirea numarului natural y la 36 este 22.
 a) Aflati restul impartirii numerelor x si y la 12.
 Solutie .Din teorema impartirii cu rest : x=24*c1+ 11=12*(2*c1 ) +11.Deci restul impartirii lui x la 12 este11.
 y=36*c2+22 = 12*(3*c2+1)+8............
b) Aflati restul impartirii numarului 3*x+2*Y la 72........................
 c) Aflati ultima cifra a numarului 15*x+5*y..................

Answer 1

Enunțul problemei:

Restul obținut prin împărțirea numărului natural x la 24 este 11, iar restul obținut prin împărțirea numărului natural y la 36 este 22.

a) Aflați restul împărțirii numerelor x și y la 12.

b) Aflați restul împărțirii numărului 3x+2y la 72.

c) Aflați ultima cifră a numărului 15x+5y.

Răspunsurile:

a) restul împărțirii numărului x la 12 este 11

  restul împărțirii numărului y la 12 este 10

b) restul împărțirii numărului 3x+2y la 72 este 5

c) ultima cifră a numărului 15x+5y este 5

Explicații pas cu pas:

• Folosim teorema împărțirii cu rest, care ne spune că:

D = Î · C + R

unde D (deîmpărțitul), Î (împărțitorul), C (câtul) și R (restul) sunt numere întregi, iar R < Î.

• Scriem numerele x și y sub forma D = Î · C + R, folosind informațiile din enunț:

x = 24 · C₁ + 11

y = 36 · C₂ + 22

Vom folosi această scriere în rezolvarea celor 3 puncte ale problemei.

a)

• x = 24 · C₁ + 11 = 12 · 2C₁ + 11

notăm 2C₁ cu C

x = 12 · C + 11

comparăm cu formula D = Î · C + R

⇒ R = 11  ⇔  restul împărțirii lui x la 12 este 11

• y = 36 · C₂ + 22 = 36 · C₂ + 12 + 10 = 12 · (3C₂ + 1) + 10

notăm (3C₂ + 1) cu C

y = 12 · C + 10

comparăm cu formula D = Î · C + R

⇒ R = 10  ⇔  restul împărțirii lui y la 12 este 10

b)

3x + 2y = 3 · (24 · C₁ + 11) + 2 · (36 · C₂ + 22) = 72 · C₁ + 33 + 72 · C₂ + 44 = 72 · (C₁ + C₂) + 77 = 72 · (C₁ + C₂ + 1) + 5

notăm (C₁ + C₂ + 1) cu C

3x + 2y = 72 · C + 5

comparăm cu formula D = Î · C + R

⇒ R = 5  ⇔  restul împărțirii lui 3x+2y la 72 este 5

c)

15x + 5y = 5 · (3x + y)  ⇔  multiplu de 5

• aflăm care este ultima cifră a unui multiplu de 5:

folosim notația u(x) = ultima cifră a numărului x

u(5 · 1) = 5

u(5 · 2) = u(10) = 0

u(5 · 3) = u(15) = 5

u(5 · 4) = u(20) = 0

• observăm regula:

u(5 · număr impar) = 5

u(5 · număr par) = 0

• trebuie să aflăm dacă (3x + y) este număr par sau impar

3x + 2y = 3 · (24 · C₁ + 11) + (36 · C₂ + 22) = 72 · C₁ + 33 + 36 · C₂ + 22

scoatem factor comun pe 2 din termenii care permit, pentru a evidenția termenii pari sau impari

3x + 2y = 2 · (36C₁ + 18C₂ + 11) + 33

⇒ 3x + 2y = număr par + număr impar = număr impar

• am stabilit mai sus că u(5 · număr impar) = 5

⇒ u(15x + 5y) = 5