Question

Rezolvarea la punctul c), vă rog

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Pentru a=1, sistemul devine:

$\left \{ {{x+y+z=1} \atop {x+3y+z=1}} \atop {x+9y+z=1}} \right.$

Matricea asociata sistemului este:

$A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&3&1\\1&9&1\end{array}\right)$

Determinantul matricii asociate este:

$det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&3&1\\1&9&1\end{array}\right|=3+9+1-3-9-1=0$

Cum determinantul este 0, nu putem aplica metoda lui Cramer.

Aplicam metoda lui Gauss:

$\left \{ {{x+y+z=1} \atop {x+3y+z=1}} \atop {x+9y+z=1}} \right.$

Scoatem x in functie de y si z din prima relatie si inlocuim in relatiile urmatoare:

$\left \{ {{x=1-y-z} \atop {1-y-z+3y+z=1}} \atop {1-y-z+9y+z=1}} \right.$

$\left \{ {{x=1-y-z} \atop {2y=0}} \atop {8y=0}} \right.$

Si am gasit y=0.

Inlocuim in relatiile urmatoare:

$\left \{ {{x=1-z} \atop {y=0}} \atop {z \in R}}$

Odata ce nu mai avem nicio restrictie pentru z, atunci z este orice numar real. Pe y il stim deja ca fiind 0, deci ramanem cu x care depinde de z prin prima relatie data in sistem. Asadar, avem un sistem compatibil unic nedeterminat.

Mai stim ca:

$x_0^3+y_0^3+z_0^3=7$

Inlocuim ceea ce stim:

$(1-z_0)^3+0^3+z_0^3=7$

$1-3*1^2*z_0+3*1*z_0^2-z_0^3+z_0^3=7$

$1-3*1^2*z_0+3*1*z_0^2-z_0^3+z_0^3=7\\3z_0^2-3z_0=6\\z_0^2-z_0-2=0\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=9\\z_{01}=\frac{1+3}{2}=2\\z_{02}=\frac{1-3}{2}=-1$

Cazul 1:

Daca $z=2$, atunci $x=1-2=-1$ si tripletul solutie este:

$(x_0,y_0,z_0)={(-1,0,2)}$.

Verificam conditia:

$(-1)^3+0^3+2^3=7\\-1+8=7$

Conditia este satisfacuta.

Cazul 2:

Daca $z=-1$, atunci $x=1-(-1)=2$ si tripletul solutie este:

$(x_0,y_0,z_0)={(2,0,-1)}$.

Verificam conditia:

$2^3+0^3+(-1)^3=7\\8-1=7$

Conditia este satisfacuta.