Question

rezolvarea! va rog!!!!!!
Aratati ca orice numar din multimea {1,2,3,...,n} are in multiplu in multimea {n-1,n+2,...,n+n}

Answer 1

fie {1} elementul 1 are multiplu l 2in multimea {2}
fie {1;2} elementele 1 si 2 au multipli in muiltimae {3;4}
fie {1;2;3} d elementele 1,2 si3 au multipli in multimea{4;5;6}
presupunem adevarata Propozitia Pn
toate elentele multimii {1;2..;n} au multipli in multimea {n+1;n+2;...n+n}
aceasta propozitie a fost deja verifiacat pt n=1;2 si3
studiem elementele
{1;2...n;n+1} sa vedem dac au multipli in multimea {n+2;n+3;...;n+1+n+1}
observam ca din multimea {n+2;n+3;...;n+1+n+1}lipseste elementul n+1
deci eventualii divizori ai acestuia din mul;timea {1;2...n;n+1} nu isi mai pot ca gasi multiplul decat in noul elerment care a aparut n+1+n+1=2(n+1)  si, DA, ei sunt divizori ai acestui numar pt ca divizorii lui n+1 ssunt si ai multilului acestuia, 2(n+1)
deci toate elementele pan la n din multimea {1;2...n;n+1} au multipli in multimea {n+2;n+3;...;n+1+n+1};
dar si noul element n+1 isi  gaseste multiplul in acelasi 2(n+2)
 deci toate elementele multimii{1;2...n;n+1} au multipli in multimea
{n+2;n+3;...;2n+2};

asadar Pn⇒Pn+1, propozitia este demonstrata prin inductie matematica , completa
deci este adevarata