Question

Rezolvati:
1. 7/1*8+7/8*15+7/15*22+......+7/(7n-6)(7n+1)+1/(7n+1)=1
2. 1/4*8+1/8*12+1/12*6+......+1/4n(4n+4)+1/16(n+1)=1/16

Answer 1

1.
Daca adunam ultimii 2 termeni ai sumei din membrul drept obtinem:
7/(7n-6)(7n+1)+1/(7n+1)=(7+7n-6)/(7n-6)(7n+1)=(7n+1)/(7n-6)(7n+1)=1/(7n-6)
Acest nou termen adunat cu antepenultimul va da un nou termen
Antepenultimul termen este obtinut din termenul generic al sumei in care facem pe n=n-1:
7/(7(n-1)-6)(7(n-1)+1)=7/(7n-7-6)(7n-7+1)=7/(7n-13)(7n-6).Acesta adunat cu 1/(7n-6) va da !/(7n-13), si tot asa mai departe pane ce ajungem la al doilea termen al sumei 7/8×15 care se va aduna cu 1/15 si va da 1/8, care adunat cu 7/8 va da 1 ceea ce trebuia demonstrat.
Sper ca ai inteles! Daca nu, da mesaj!
2.
Se face la fel observand ca termenul generic se poate scrie:
1/4n(4n+4)=1/16n(n+1). Adunat cu 1/16(n+1) da 1/16n.
Acesta adunat cu termenul anterior obtinut din termenul generic facand pe n=n-1  adica  1/(4n-4)(4n-4+4)=1/16n(n-1) obtinem 1/16(n-1). Si tot asa
se obtne 1/16×3  care adunat cu al doilea termen 1/8×12 da  1/16×2 care adunat cu primul termen da 1/16, adica ceea ce trebuia demonstrat.