Question

Rezolvați ecuația:
3^{x-1} -3^{3-x} = 6

Answer 1

Rescriem ecuatia astfel:
$\frac{3^x}{3} - 3^3* 3^{-x} = 6$
$\frac{3^x}{3} - \frac{27}{3^x}=6$
Notam $t=3^x$, cu $t\ \textgreater \ 0$, intrucat exponentiala aceasta este mereu strict pozitiva. Avem:
$\frac{t}{3} - 27 \frac{1}{t}=6$
Inmultim cu t si rescriem ca o ecuatie de gradul 2:
$\frac{t^2}{3} - 27 = 6t$
$\frac{t^2}{3} - 6t - 27 =0$
Calculam discriminantul: $\Delta = 36 + 4* \frac{1}{3} *27=72$
si avem solutiile:
$t_{1,2} = \frac{6 \pm 6\sqrt2}{\frac{2}{3}}= 9 \pm 9\sqrt2$
dintre care alegem $t=9 + 9\sqrt2$ intrucat este singura strict pozitiva.
Revenim la notatia initiala si avem:
$3^x=9+9\sqrt2$
deci, solutia este $x=\log_3(9+9\sqrt2)$.