Question

Rezolvati ecuatia : (in atasament , multumesc mult de tot )

Answer 1

Mai întâi vom pune o condiție de existență :

$\it \sqrt{x-5} \Longrightarrow x-5\geq0 \Longrightarrow x \geq 5 \ \ \ \ (1)$

$\it (1) \Longrightarrow 2x\geq10|_{-3} \Longrightarrow 2x-3\geq 7 \Longrightarrow \sqrt{2x-3}\geq \sqrt7\ \textgreater \ 2\ \ \ \ (2)$

Acum analizăm expresiile din ecuație :

$\it x-1+4\sqrt{x-5} = x-5+4+4\sqrt{x-5}=$

$\it= (\sqrt{x-5})^2 +4\sqrt{x-5} +2^2 = (\sqrt{x-5}+2)^2\ \ \ \ \ (3)$

$\it 2x+1-4\sqrt{2x-3} = 2x-3+4-4\sqrt{2x-3} =$

$\it =(\sqrt{2x-3})^2-4\sqrt{2x-3} +2^2 = (\sqrt{2x-3}-2)^2 \ \ \ \ (4)$

Din (3),  (4) ecuația devine :

$\it \sqrt{(\sqrt{x-5}+2)^2} + \sqrt{(\sqrt{2x-3}-2)^2} =4\Longleftrightarrow$

$\it \Longleftrightarrow |\sqrt{x-5}+2| + |\sqrt{2x-3}-2| = 4$

Ținând seama de relația  (2), ecuația devine:

$\it\sqrt{x-5} +2+\sqrt{2x-3}-2 = 4 \Longleftrightarrow \sqrt{x-5} +\sqrt{2x-3} = 4\ \ \ (*)$

Relația (1) ne permite să încercăm x= 6 ecuația  (*).

Vom constata că x= 6 este soluție.


Observație:

Pentru a stabili că  ecuația dată are numai soluția x = 6, va trebui să rezolvăm

ecuația (*), punând condiții de existență și eliminând radicalii

prin ridicări la puterea a 2-a.