Question

Rezolvati ecuatia (numere complexe sub forma trigonometrica) : z la puterea 6= -z conjugat

Answer 1

....................................

Answer 2

fie z scris sub forma trigonometric a
 z=m(cosα+isinα) unde prin m am notat modulul
atunci zconjugat= m (cos (-α) _isin (-α))=m (cosα-isin α) si
-zconjugat= m(-cosα+isinα)
z^6= m^6(cos6α+isin6α)=m(-cosα+isinα)

deci egalam modulele  m^6=m
m^6-m=0,
m(m^5-1)=0
m(m-1) (m^4+m³+m²+m+1)=0
ecuatiede grad 6. cu exact 2 radacini reale m=0 s m=1
(se popate arat ca m^5-1 este crescatoare si intersecteaz o singura dat axa Ox in m=1)
pt m=0
avem o prima solutie , solutia zuisa banala
z=0

verificare

0conjugat=0, -0conjugat=0
0^6=0, adevarat

 pt m=1
trebuie sa egalam si partile reala si imaginara din paranteze
ramane ca sin 6α=sin α
adica sin6α-sinα=0 (1)
si
cos6α=-cosα
adica cos6α+cosα=0 (2)


transformam (1) si (2) in produse ; rezulta
2sin 5α/2 * cos7α/2=0 (3)
si
2cos7α/2*cos5α/2=0  (4)



cum sin5α/2 si cos5α/2 nu pot fi simultan 0
pt a fi simultan adevarate (3) si (4), este necesar ca
cos 7α/2=0

7α/2=(2k+1)*π/2 asa fel incat α∈[0;2π)

7α/2=π/2; 3π/2:5π/2; 7π/2; 9 π/2;11π/2; 13π/2

7α=π; 3π;5π;7π;9π;11π;13π

α=π/7; 3π/7 ;5π/7 ;7π/7=π; 9π/7 ;11π/7; 13π/7

deci z=1(cosα+isin α)
 
ptca pareau cam multe,(fiind ecuatie de grad 6 ,trebuiau sa rezulte 6 solutii, nu 7 )
am verificat pe cea de la mijloc, pt α=π
cosπ+isinπ=-1
(-1)^6=1
 -1conjugat =-1
-(-1)=1
1=1, adevarat