Question

Rezolvati ecuatia:

sin x + cos x = 1

Answer 1

asta e raspunsul..................................

Answer 2

     
$sin\;x+cos\;x=1 \\ sin\;x+ \sqrt{1-sin^2x} =1 \\ \sqrt{1-sin^2x} =1-sin\;x \;\;\;\;\;\; (\text {ridicam la patrat}) \\ \text{Ridicarea la patrat poate introduce solutii false.} \\ \text{Le eliminam prin verificare.} \\ 1-sin^2x=1-2sin\;x +sin^2x \\ -sin^2x -sin^2x +2sin\;x +1-1=0 \\-2sin^2x +2sin\;x =0 \;\;\;\;\; | : (-2) \\ sin^2x -sin\;x =0$

$(sin\;x)(sin\;x -1) =0 \\ Avem \;2 \;solutii: \\ Solutia\;1: \\ sin\;x=0 \\ x_1=0+ k\pi \\ Verificare: \\ sin\;0+cos\;0=0+1=1\;\;\;Corect. \\ sin\;\pi +cos\;\pi =0-1=-1\;\;\;Gresit. \\ =\ \textgreater \ \text{Vom elimina valorile impare ale lui k} \\ Solutia \;1\;corecta\;este:\;\;\; \boxed{x_1=0+2k\pi}$


$Solutia\;2: \\ sin\;x -1 =0 \\ sin\;x =1 \\ x_2 = \frac{\pi}{2} +2k\pi \\ Verificare: \\ sin\;\frac{\pi}{2}+ cos\;\frac{\pi}{2}=1 + 0 = 1\;\;\; Corect. \\ Solutia \;2 \;corecta\; este: \boxed{x_2 = \frac{\pi}{2} +2k\pi }$