Question

Rezolvati ecuatia:|x-1/x+2|+|x+2/x-1| mai mic sau egal cu 2

Answer 1

Am atasat rezolvarea.

593490fa74ef141914a8cc46eec13632.pdf

Answer 2

$\it \Big|\dfrac{x-1}{x+2}\Big| + \Big|\dfrac{x+2}{x-1}\Big| \leq2 \Leftrightarrow \dfrac{|x-1|}{|x+2|} + \dfrac{|x+2|}{|x-1|} \leq2$

Notăm  |x - 1| = a,   |x + 2| = b,  iar inecuația devine:

[tex]\it \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{a} \leq2 \Rightarrow a^2+b^2 \leq 2ab\Rightarrow a^2+b^2-2ab \leq0\Rightarrow (a-b)^2 \leq0 \\\;\\ \\\;\\ Dar,\ \ (a-b)^2 \geq0,\ \forall \ a,\ b \in \mathbb{R}[/tex]

Avem, deci, următoarele două relații :

[tex]\it (a-b)^2 \leq0\ \ \ \ \ (1) \\\;\\ (a-b)^2 \geq0\ \ \ \ \ (2) \\\;\\ Din\ (1),\ (2) \Rightarrow (a-b)^2 = 0 \Rightarrow a-b = 0 \Rightarrow a = b [/tex]

Revenim asupra notației și rezultă:

|x - 1| = |x + 2| ⇒ x - 1 = ±  (x + 2)

I) x - 1 = -(x + 2) ⇒ x - 1 = -x - 2 ⇒ x+x = -2+1⇒2x = -1⇒ x = -1/2

II) x - 1 = +(x + 2) ⇒ x - 1 = x + 2 ⇒ x - x = 2+1⇒ 0x =3 (imposibil)

Prin urmare, inecuația dată are mulțimea soluțiilor  S = {-1/2}.