Question

Rezolvati ecuatiile

$log_{x+2} (2 x^{3} + 5x + 2 ) = 1$
$log_{3} (x^{2} -14x+22)=2$

Answer 1

a)

[tex]\it log_{x+2} (2x^3+5x+2) =1 \Rightarrow 2x^3+5x+2 =(x+2)^1\Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow 2x^3+5x+2 = x+2 \Rightarrow 2x^3+5x+2 -x-2 =0 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow 2x^3+4x=0 \Rightarrow 2x(x^2+4) =0 \Rightarrow \begin{cases} \it 2x=0 \Rightarrow x = 0 \\ \it x^2+4=0 \Rightarrow x\not{ \in} \mathbb{R}\end{cases}[/tex]

Ecuația dată are o soluție unică:   x = 0.

b) Folosind definiția logaritmului, rezultă:

x² -14x +22 = 3² ⇒ x² -14x +22 - 9 = 0 ⇒x² -14x +13 = 0 

Rezolvând ecuația de gradul al II-lea, se obțin soluțiile:

x₁ = 1   și   x₂ = 13.

Verificăm dacă aceste două soluții sunt soluții și ale ecuației inițiale, ceea ce se confirmă.

Deci, ecuația dată admite două soluții: x₁ = 1   și   x₂ = 13.