Question

rezolvati ecuatile : a) |x|-x=3 b) |x|+|x+1|=2 c) |2x-3 |=|3x-2|

Answer 1

a) Pentru x < 0, avem |x| = -x deci ecuatia devine -x - x = 3, -2x = 3, x = -3/2
Pentru x ≥ 0, |x| = x deci avem x - x = 3 fals! deci nu avem nici o solutie pentru x ≥ 0

b) Pentru  -1 < x < 0 |x| = -x, x + 1 > 0, deci |x + 1| = x + 1
Ecuatia devine: -x + x + 1 = 2, 1 = 2 fals, deci nu avem nici o solutie in intervalul (-1, 0)
Pentru x < -1, |x| = -x, |x + 1| = -x - 1, deci ecuatia devine:
-x - x - 1 = 2
-2x = 3
x = -3/2 ∈ (-∞, -1) deci este solutie a ecuatiei

Pentru x ≥ 0, avem |x| = x, |x + 1| = x + 1, deci ecuatia este:
x + x + 1 = 2
2x = 1
x = 1/2 ∈ [1, ∞) deci este solutie

c) 
Stabilim intai valorile lui x pentru care cele doua module sunt 0:
2x -3 = 0
2x = 3
x = 3/2
3x - 2 = 0
3x = 2
x = 2/3 < 3/2
Intervalele pe care trebuie sa le analizam sunt :
(-∞, 2/3), [2/3, 3/2), [3/2, ∞)
Pentru x ∈ (-∞, 2/3) avem |2x - 3| = -2x + 3
si |3x - 2| = -3x + 2
Ecuatia devine:
-2x + 3 = -3x + 2
x = -1 ∈ (-∞, 2/3) deci este solutie a ecuatiei

Pentru x ∈ [2/3, 3/2) avem:
|2x - 3| = -2x + 3
|3x - 2| = 3x - 2
Ecuatia este:
-2x + 3 = 3x - 2
5x = 5
x = 1 ∈  [2/3, 3/2) deci este solutie a ecuatiei

Pentru x ∈ [3/2, ∞) avem:
2x - 3 = 3x - 2
x = -1∉ [3/2, ∞) deci nu este solutie a ecuatiei