Question

Rezolvați în mulțimea nr reale ecuația: radical din x-1= radical din x^2-2x-1



​

Answer 1

$\sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} -2x - 1} \implies x- 1 \geq 0 \text{ , } x^{2} -2x - 1 \geq 0$

$\text{Din prima inegalitate avem: x \in [1, \infty) , iar din a doua x \in (-\infty, 1 - \sqrt{2}]\cup[1 + \sqrt{2}, \infty) }$$\text{Combinand intervalele obtinem ca x \in [1 + \sqrt{2}, \infty) }$

Acum putem ridica ambele părți la puterea a 2-a:

$x-1 = x^{2} -2x - 1 \implies x^{2} -3x = 0 \implies x_{1} = 0, x_{2} = 3$

$\text{ x_{1} = 0 nu e solutie deoarece nu se gaseste in intervalul [1+\sqrt{2}, \infty) }\\\text{Deci unica solutie este \boxed{x = 3} }}$

$S = \{3\}$