Question

Rezolvați in mulțimea numer reale ecuatia exponentiala (1/2) ^x+(1/3)^x=1

Answer 1

$(\frac{1}{2})^{x} + (\frac{1}{3})^{x} = 1 \vert \cdot 6^{x}$

$3^{x} + 2^{x} = 6^{x}$

Putem arăta că pentru orice x > 1, $6^{x} > 2^{x} + 3^{x}$, folosindu-ne de principiul inductiei matematice si de faptul că funcțiile exponențiale date sunt strict crescătoare pe R.

Deci x <= 1.

Fie $f(x) = 6^{x} - 2^{x} - 3^{x}$, zeroul acestei functii va corespunde cu solutia ecuatiei anterioare, pentru a aproxima solutia vom folosi metoda lui Newton, care ne oferă o serie de aproximări ale soluției reale care converg pătratic.

Algoritmul arată așa:

$x_{n} = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f^{'}(x_{n-1})}$, unde fiecare x_{n-1} este aproximarea anterioară, acum presupunem că soluția e 0.5.

După 6 iterații obținem soluția aproximativă:

$x \approx 0.7878849110258699$