Question

Rezolvati in mulțimea numerelor complexe ecuațiile următoare , exprimând soluțiile sub forma trigonometrica :
a) z+|z|=0
b) z²=-i
c)2iz⁴-2(1+i)z²+1= 0 .
DAU COROANA CAREVA

Answer 1

Iti rezolv eu a) si b).

a)
z+|z|=0 <=> z=-|z|. => z apartine R.
Daca z>0, obtinem z+z=0 <=> 2z=0 <=> z=0, contradictie (cu faptul ca z>0)!
Daca z<=0, obtinem z-z=0 <=> 0=0, adevarat, oricare ar fi z<=0.

In concluzie, solutiile ecuatiei z+|z|=0 sunt toate numerele din intervalul (-inf,0].
Sub forma trigonometrica: solutiile sunt numerele z=r*(cos(pi)+i*sin(pi)), cu r>=0.

b)
z^2=-i <=> z^2=((1-i)^2)/2 <=> z^2=((1-i)/rad(2))^2. => z1=(1-i)/rad(2)=rad(2)/2-i*rad(2)/2=cos(7pi/4)+i*sin(7pi/4) si z2=-(1-i)/rad(2)=-rad(2)/2+i*rad(2)/2=cos(3pi/4)+i*sin(3pi/4)

Deci solutiile sunt z1=cos(7pi/4)+i*sin(7pi/4) si z2=cos(3pi/4)+i*sin(3pi/4).

Answer 2

Fie  z²=t  t∈C
2it²-2(1+i)t+1=0
Calculezi  determinantul
Δ=4*(1+i)²-8i=0
t1 ,2=2*(1+i)/2i=(1+i)/i  A,plifici  fracria  cu  i
t=(i+i²)/i²=(-1+i)/(-1)=1-i
te  intorci  la  z
z²=t=(1-i)
lz²l=l1-il    z=a+bi 
Obtii  ecuatiile
{(a+bi)²=1-i
{√(a²+b²)=√(1+1)=√2
{a²-b²=1
{2ab=-1
{a²+b²=2
Adui  prima  ecuatie  cu  cea  de-a  treia  si obtii
2a²=3  =>a=+/-√3/2 
b=+/-√1/2